什么是无理数，为什么说π是无理数_办公生活

admin

2023-06-08 14:07:50

无理数是指无限不循环小数，即不可以用两个整数比表示。

相反地，有理数可以用两个整数的比值表示。

谨此以反证法证明π是无理数

假设π是有理数，则π=a/b (a,b为自然数)

令：f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!）
若：0

以上两式相乘得：

当n充分大时，在[0，π]区间上的积分有

0<∫f(x)sinxdx<[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 ①

又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n) (表示偶数阶导数)

由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n

故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数

因此，F(x)和F(π)也都是整数

又因为

d[F'(x)sinx-F(x)cosx]/dx

=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有：

∫f(x)sinxdx (上限为π，下限为0)

=[F'(x)sinx-F(x)cosx]

=F(π)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]区间上的积分为整数，这与①式矛盾

所以π不是有理数，又因为它是实数，故π是无理数。

另外，用泰勒展开级数也是可以证明其是无理数。这里不加以证明。

无理数整数有理数都是导数