第一天收藏 平行四边形及特殊平行四边形最全知识点总结

第二天

正方形

1.定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

2.性质：具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

边：四条边都相等，两组对边分别平行。

角：四个角都是直角。

对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角，并且被平分完的每个角都是45度。

对称性：正方形是轴对称图形，对称轴为对边中点连线和对角线所在直线（4条）

正方形又是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

正方形的特殊性：

正方形是特殊的矩形特殊在 四边相等、对角线垂直

正方形是特殊的菱形特殊在 四个角是直角、对角线相等

正方形是特殊的平行四边形特殊在 四边相等、四个角是直角、对角线互相垂直且相等

3.判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

有一组邻边相等的矩形是正方形；（定义）

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

4.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：

平行四边形包括矩形、菱形、正方形；菱形包括正方形；矩形包括正方形

典型例题

例1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

例2.如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG平分线于点F．

（1）试说明EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．

解：（1）∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，

又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，

∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形．

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．

∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，

已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．