数学概念教学 屈义寅

中华文化认为“名不正则言不顺”。我认为，其本意是：讲话中，所用的概念之内涵不准，外延不清。则不可能使所说之话条理清晰，逻辑严密。这样的能力是通过不断学习获得。学习的过程中，教育是不可缺少的工作。

什么是“概念”？新华字典P125【概念】人们在反复的实践和认知过程中，将事物共同的本质特点抽象出来，加以概括，从感性认识飞跃到理性认识，就成为概念。

这个“概念定义”与“规律定义”似乎没有什么差别！

我认为，应说得更详细一些。详述如下：

从形式上看，概念是某种语言的一个单词。可者说得更基础一些。概念在形式上是一个由字符串构成的传递或交换信息的最小独立单元。它与一个声音串对应起来，就构成某种语言的一个单词。这个单词表达的内容，是对世界中某些共性或个性的近似陈述。是人们在反复的实践和认知过程中，抽象出来的个体的特定本质，或者，群体的共同的本质特点。这一点与规律相同，只是，规律不只是一个单词，至少是一句完整的陈述句。

创建概念的方法，用得较多的最方便的方法，就是使用逻辑定义来创建一个概念。首先用已有的概念，概成一个具充要性的逻辑命题的条件。在这里用p表示。再件创建某个字符串结合声音串，表示的一个单词，作为这个逻辑命题的结论，在这里用q表示。这样的充要性命题，陈述为：若p,则称为q。

命题＂若ｐ则ｑ＂不是充要性命题的陈述方式。只能得出：

ｐ是ｑ的充分条件。或者，ｑ是ｐ的必要条件。不是完整的一个定义的陈述方式。

这种创建概念的前提，是所用作条件的概念，都要是已创建出来的。就是作为条件中使用的概念需要预先存在。如此倒推下去，最终就会出现“无现成的概念可用了”。这种前提条之下，还必须创建概念时时，就不能使用逻辑定义来建立这样的概念，这样的概念称为原始概念，简称原概念。

如何创建原概念？

通过经验总结，归纳出一些必要条件，排除一些明显的不能出现的方面。指定一个字符串结合声音串，用来表示该概念。然后进行适当的应用。再通过应用过程来，逐步丰富这个概念的内涵，逐步清晰这个概念的外延的边界。

例一，“妈”的概念的建立。最原始的方法，也是只能用的方法，就是指定建立。对于初生儿来说，“自然”认定这个人就是妈，其他人不是妈。经过相当长的使用之后，再结合其它不同的概念之建立，就可理解“每一个人都有一个妈”。之后，就可按逻辑学要求，用妈的概念定义新概念了。例如：妈妈的妈叫外婆。爸爸的妈妈叫奶奶。……等。然后再指定一个字符串表示该概念，汉语就是“妈”。这时，这个概念的创立才算初步完成，成为了汉语的一个单词。或说，一个单词表示的概念。

例二，几何学中或物理学中，点的概念的建立。

现在通用的方法，就用定义的陈述方式来引入：“点就是没有形状，没有大小的几何图”。看起来就像一个不错的定义陈述。

并非定义，而且还在几何学内产生了逻辑冲突。没有大小还能看见吗？不可能。看不见的东西还是几何图形吗？

另一方面，这样描述的点，没有任何个性差异。无法建立点的集合。就无法用点的不同集合表示不同的几何图形了。其实，点是物理个体抽象为质点而来。观测者根据每一个质点的个性差别，在空间找到需要的质点。逆过来又用质点表示点的位置。当质点用于表示位置时，只是忽略了它的个性。不是没有个性。需要是都可恢复使用。然后发现，用两条相交线段的公共部分表示一个点的位置，较为方便准确。而且，选定参照物之后，就可把点的位置信息储存起来再利用了。这样的表示位置的点，称为几何点。

对小学生来说。点就是表示位置的一个物体，当它表示点时，它的形状，大小，质量差异全忽略不计了。既方便又准确的表示点的位置的方法，就是画两条相交线段，用交点表示一个点的位置。

例三，借用其它学科内的概念。指定它代替本学科的原概念。再逐步丰富内涵，逐步清晰外延。逻辑学中的原概念“命题”就是这样处理。

在逻辑学中，原概念是“命题”。逻辑学研究的内容，就是因果然关系的规律。在该学说中，一条陈述句就称为命题。

在基础教育中，不能这样简单引入这一概念。当某一事件Ａ发生之后，另一事件Ｂ必然发生或必然不发生。存在这样的关系的两个事件，称为存在因果关系。生发生的事件称为条件，随之而发生事件称为结果或结论。完速陈述这一因果观系的陈述句，称为一个命题。在条件成立的条件下，如果结论出现与陈述的内容相反的结果。（陈述为必然发生时，出现了不发生。可者，陈述为必然不发生时，出现发发生。）就称这个命题为假。否则称这个命题为真。

数学中研究变化的学科。条件与结论的内容中，常含有可变化的因素。使得出现某些情况下，命题这真；出现另外的情况下，命题为假。这样的命题，逻辑学上做出规定，。在何种情况下为真。在何种情况为假。分另称为全称命题与特称命题。具体定义如下：

当每一种可变因素出现时，命题全为真，才称命题为真。这样的命题称为全称命题。

只要存在一种可变因素出现时，命题就为真。就称命题为真，这样的命题称为特称命题。

没有预先定义真假，又出现既可能为真又可能为假的命题，就定义这样的命题为假命题。

在以上规定之下，任何一句陈述句，都可分出真假。暂时分不出真假时，就称这样的命题为猜测。

教学上，上述内容，不能一次全讲授。小学只讲因果关系概念。按因果关系进行推理判断。一对因果关系构成一个定理或法则。陈述定理或法则时，要把因果观系陈述完整。

初中，再把因果关系的整体，称为命题。（实质，只把判断型命题称为命题。）

高中，在适当时期，通过逻辑学基本知识一章，适当讲一些逻辑系统知识。从条件与结论与命题本身全中陈述句。一个命题也可成为条件或结论。把一句陈述句，在逻辑学中，统一称为一个命题。由于这并非定义，就不要作为判定定理来使用。更不要去安排“判定一句陈述句是不是命题“的练习。因为命题概念是逻辑学中的原概念。

例如，就不要让学生去判断一个几何图形是不是点？不要让学生去判断一句话，例如＂ｘ＞３＂是不是命题。

对于可逻辑定义的概念。一定要完整给出定义。不能用一个充分条件或一个必要条件来加以引入之后，就不去建全定义了。对小学生，常需要一个人过程，才能把定义完整建立起来。既不能急，也不能省。

例如，小学启蒙数学时，讲计数。

计数的原则要求。不重复，不遗漏。首先就要明确计数的单位是什么，如何区别被两个计数对象是相同还是不同。要到讲排列组合时，才能完整的讲授。但是，一开始就要小学生遵守。用传统的方法，很难办到。引入现代数学集合论的成果，就容易一些。就是把“一个“的概念作为原概念来引入，讲授。什么是一个，是人类主观观完成出来的（概念）。现成的明显独立个体是常用的一个。也可主观规定什么为”一个“。只需两次展示出来规定好的对象之后，能准确区分是同一个还是不同的两个即可。每一个小朋友都可独立自己去规定什么为一个。在数学上，可以作一个的对象，统一用一个名称称呼。　称为　　＂元素＂。不再使用特别量词。统一用” 个“作这计数单位。然后，用一个通用方法，如何定义一个新的独立个体。就是把某些原数作为一个整体来看待。这个整体称为一个集合。由人主观规定。只需规定之后。每一介元素数都可准确判断出它是这个集合的元素。可不是这个集合的元素即可。集合既是一个新元素，以是规范计数范围的工具。

创建一个概念，首先得有一个引入过程。引入的实质，就是用一个加强了的充分条件，来建立概念的一种具体表现。特别是用举一个具体实例，再指定这个实例就代表某个概念时。就会产生这样一种错觉“不是这种指定物的，就不是这个概念。因为不是充要条件，逆定理不成立。还存在着另外的充分条件。因此最终必须完整的把逻辑定义陈述出来，才算创建成功了这个概念。

例如，用两平板，演示两个平面的位置关系，可得出“平行“，”相交“，”重合“三个不同概念。平行定义一定陈述：两个平面没有公共点，则称两平面平行。相交，原教材上就没有给出定义。重合也没有给出定义。当已知两个平面相交时，就不知道如何在推理证明中，使用这一条件了。而且可能出现以下错误判断：“两个平面不平行就相交”。

两个相交平面的定义：如果两个平面既有公共点，也存在非公共点，则称两个平面相交。因此，当两个平面相交时，就不可能重合，也不可能平行了。（这就是相交定义也可作为性质定理使用。）

小学数中，不少概念，由于受到学生知识面太窄，无法进行逻辑定义。引起一些模糊性。造成一些学习困难。我认为，如果，把字符与字符串作为原概念引入，其它概念就可逻辑定义了。

表示数字的字符：｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，0｝再由其中取出若干个，排成一排。左侧第一个不排“0”。就称一个表示数字的字符串。表示数字的字符或字符串通称为数字符。

｛+，-，*，÷, ……｝等字符，称为运算符。

｛=，≠，<，>，≤，≥……｝等字符称为关系符。（还有其它转用字符，这里就不全举出了。）

纯由数字符构成的字符串，每一个表示一个数，称为常数。

由数字符与运算符构成的字符串，如果表示唯一个数。这个字符串就称数表达式。

用关系符把两个数式联起来，构成一个字符串，称为关系式。只用等号“=”的称为等式。用不等号的称为不等式。

在小学的教学中，如下方式引入上述各概念。

３＋４是一个字符串，由数了符与运算符“＋“构成，称为一个表达式。它既表示出，用３与４进行加法运称；又表示加法所得正确结果，也就是表示某一个数。这两个数相加的和数。

３＋４＝７.这个字符串中，多了一个关系符。不能再称为表达式，而称为等式。简章说，含有关系符等号的字符串，称为等式。

如果算错了，得到　３＋４＝６。这个字符串，如何称呼？

按等式的定义，还是含有等号的字符串，应称为等式。只是等号陈述的相等关系不成立的等式。为也区别等陈述的关系成立的等式加以区别。

３＋４＝７　　称这恒等式

３＋４＝６　　称为非恒等式。又可称为无解方程式。不能说“不是等式”！也可简说为“相等关系不成立的等式”。

变数概念

从｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，0｝这个字符集合内随意取出一个数字。如何表示？这里存在着可变化的因素，用其中任何一个字符来表示，都表示不出这个可变因素。就创建另一个字符或字符串来表示。常用的办法，取一个与上述字符不相同的符号，并加以说明。例如，取a表这这个集合中，随意取出的某一个数。这个a表示的数不确定，这样表示出的数，称为变数。

表达式中，也可有变数。这时，表达式表示的也是一个变数了。以后的等式，不等式式中，都可含有变数。这样的数式，通称为代数式。由于0*a=0,在代数式中，这样的字符串部分就省略不写。因此，一个没有变数的表达式中，可认为它也含有+0*a.也可称为代数式了。因此，在数学中，代数式包括了表达数式。与关系式。关系式中分成等式与不等式。

２×ｘ＝６　　也样的字符串也称为等式。是不是恒等式？试算来看。就是其中的变数，随意取定一个值，取定之后，就可计算了。正确算出来之后，就可判断等号陈述的相等关系是否成立了。如果出现了一个不成立的关系，测称为非恒等式。不存在相等关系不成立的可能。才称为恒等式。

当ｘ＝３，２＊３＝６．相等关系成立了。

ｘ＝２．２＊２＝４≠６．出现了不等关系之后就不再试算了。这个等式就不是恒等式。但与　３＋４＝６不同，存在一个变数之值值相等关系成立，因此称为有解的方程式。

有解的方程式与无解的方程式通称方程式。

这样一来，等式分成两类，恒等式与方程式。

方程式中，表示变量的字符，又可称为未知数。当这个变量的某个取值，使等式两端所得的常数相等时，就说这个常数是方程的解。

解方程，就是求出方程的所有解，或判断无解。统一称为解方程就是求出方程的解集（包括空集）。

如果一个等式，暂时还判断不准是恒等式时，就可暂时看成方程式。作为方程式来研究。当方程的解集与变量的许可取值集合相同时，就证明是恒等式了。

运算顺序规则，表达式的恒等变形。

每一个表达式，各变数取定值之后，计算出的结果，只表示唯一一个数值。这时现阶段的要求。今后可放开。会出现明确指示。

当一个表达式中，运算多于两个时，不同的运算顺序，计算出来的结果，可不一样。哪一个才是表达式所表示的数？数学中有明确的规定。

先对运算分类，分成三类。加，减运算称为一级运算，乘，除运算称为二级运算，其它运算称为三级运算。

如果某一个表达式中只有一级运算，或只有二级运算。而且没有出现括号，在则规定从左向右依次运算。

如果有一，二两级运算都存在时，没有括号时，规定先算二级运算。多个二级运算连着时，这部分从左向右依次运算。各连着部分分别运算，算完之后，只乘下一级运算，再从左向向右依次运算各个一级运算。算完为止。

以上运算规则，在中国传统简称为“先乘除，后加减”。过于简化了。

括号的概念与用法。

　　例如。３＋４既表示一个加法运算，又表示加法的运算结果，这两个数相加的和数。既是一个式子又表示一个数。当为了突出是表示数时就用一对括号，把这个表达式完整的括起来。一对括号就表示一个数需先算出来之后，才可与其它数进行下一步的运算。（３＋４）×５.就要先算括号内的加法运算，然后再算乘法。

　　两个表达式，何时算是同一个表达式，或不同的表达式？

　　把两个表达式各排一行，并列排起来。从左向右依次对齐。不一样长就不是同一表达式，同一样长时，对着的字符全要同，才算两个表达式是同一个表达式。如果两个不同的表达式，不相同，构成的等式是恒等式，就说两个表达式之一可恒等变形为别一个表达式。

　　每一个表达式变形，都要求是恒等变形。算术中，通过建立交换律，结合律，分配律。来保证变形为恒等变形。在代数中，这个些规律可转化为保持恒等变形的具体法测。这需建建立一些概念。其实，对于这此概念，算术与代数的界限可打破的。

只含加减运算的表达式，可称为多项式。对参与运算的数与运算符之间存在以下关系。数的个数恰比加减符个数多一个。有几个数参与运算，这个表达式就称为几项式。

３＋４　　是是二项式，

３＋５－４　最三项式

　　３＋７－（６－２）是三项式，每一个括号所表示的只是一个数所起的作用。

　　数字现它前侧的运算符一起，作一个整体时，称为一项。最左侧一项，认为是省略了运算符“＋”号的一项。

　　所有运算全是乘陈号的表达式，称为单项式。单项式中的运算不只一个，参与的数字符不只一个。单项式中，每一个数字符不再称为一项。而称为一个因数。因数个数部比乘除号的个数多一个。

　　当单项式归入多项式时，就是一项式。就是在一个表达式中，四则运算全有时，不同单项式作为不同的一项出现，连同前面的加减运算符一个整体称为一项。

　　多项式的恒等变形法则：通过改这运算顺序来变形。运算顺序的变化立式。改变项在表达式中的位置或加括号或去括号来实现。

一，改变项的位置时，联同数前面的运算符一同移动。也可以说，“整项一起移动”。（在学习整数概念以前，项前的符号为“－“号时，不得移到最左侧成为第一项。是“＋”时，可移移到第一位置。移到之后，“＋”号，省略不写。首项移出时，不要忘了先添加上“＋“号。移动时，单项式作为一个整体来移动，连同前面的运算符。

二．加括号时，一对括号又一对括号的添加。前侧括号加在运算符之后，数字符之前。后一侧括号加在数字之后，运算符之前。添加了括号之后，就要先算括号内的一切运算。保持恒等的法则：

当括号前是“＋”时，括号内的运算符保持原样。

当括号前是“－”时，括号内的运算符都要改变，加号变减号，减号变加号（与乘除号无关）。　

逆过来就是去掉括号。当括号前是加号时，去掉即可。当括号前是减号时，去掉括号之后，原括号内的加减号，都要变成逆运算的运算符。否则，不是恒等变形了。

传统处理方法：学完整数运算之后，减去某个数等于加上它的相反数，就可把每一项的运算符都可变成加号了。这样一来，变好之后，表示数的字符就可随意交换位置而保持恒等了。

添加括号，去括号而保持恒等的变形。还可通过分配律来进行。分配律是一级运算与二级运算同在时，才可使用。分配律的全称：乘法对加减法的分配律。除不对加减法的分配律。用恒等式表示如下：

（ａ±ｂ）＊ｃ＝ａ＊ｃ±ｂ＊ｃ

（ａ±ｂ）÷ｃ＝ａ÷ｃ±ｂ÷ｃ

逆过来，坐右向左，称为分解因式的提取公因式。

对于等式的变形。

两个等式如何区号是同一等式还是不同的两个等式？

等式中，等号两侧各是一表达式。当且仅当，同侧的两个表达式都相同时，才认为等式是同一个等式。否则两个等式就算不同的两个等式。

当两个等式不同，但是，使两个等式陈述的相等关系成立的变量组的集合相等；且使两个等式陈述的相等关系不成立的变量组的集合也相等时。则称这种等式的变形为同解变量。又称这两个等式同解。恒等式同解变形之后，还时恒等式。方程式同解变形之后，解集不变。无解方程不会变成有解方程，逆之也真。

也可以只对方程式来说，方程式变形之后，解集合不变时，这种变形称为方程式的同解变形。

同解变形的法测

等式两端的表达式，分另进行恒等变形时，是同解变形

等式两端同加一个数或同减一个数，是同解变形。从形式上说，特殊情况就是把一个多项式从等式一端移动到另一端，每一项的正负号全反号。是同解变形。

等式两端同乘一个非０的数，或同除一个非０之数，是同解变形。形式上就是，一端表达式的因数可以移向另一端，当称每乘作除或移除作乘时，是同解变形。

同乘一个可为０的变数，不是同解变形，可能增加方程的根。需验根后去掉这个增根。（方程两端乘方之后，就是乘上了可能为０的因数，可能增根。）

同除以一个可为０的数，就是约去了一个可为０的表达式时，可能遗漏根。使因数为０的数，有可能就是方程遗漏的根。