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自由落体运动，物体仅受重力的作用，沿着竖直线下落。

早在万历年间（1572-1620），伽利略就通过比萨斜塔实验，发现了自由落体定律。

1685年，牛顿在“自然哲学的数学原理”中，提出了牛顿三大定律。

根据牛顿第二定律，mg = ma，自由落体加速度 = 重力加速度g。

（自由落体加速度表达的是惯性，重力加速度表达的是引力）

自由落体运动的速度 v = gt，位移 s = 1/2 gt^2.

如果下落的起点与终点之间的高度差为y的话，那么所需要的时间 t = (2y/g)^0.5。

起点与终点在一条竖直线上，不需要微积分，只用简单的二次代数方程就可以算出来。

但是，如果起点和终点不在一条竖直线上，这个问题就会变得很复杂，甚至在1696年被伯努利拿来考验牛顿[呲牙]

这就是最速降线问题。

1，最速降线问题，

最速降线问题

如图，不管在不在一条竖直线上，根据能量守恒定律，速度的值都是 v = (2gy)^0.5。

速率与x坐标是没关系的，因为重力做功只和高度差有关，与路径无关。

只是不在一条竖直线上时，速度的方向是变化的。

但不在一条竖直线上时，曲线的切线方向也是变化的。

并且，速度的方向始终沿着曲线的切线方向，所以它依然是个均匀加速的问题。

只是这么稍微一偏之后，就得使用微积分了：

而且，就算使用了微积分之后，问题依然不好解决。

两点之间的直线只有一条，但两点之间的曲线有无数条。

到底哪一条曲线是最节省时间的？

2，反证法、微扰论，

首先，最节省时间的曲线一定是光滑的，不可能是波纹状的。

因为，在非常微小的间隔内，速度可以认为是近似不变的，而波纹状曲线比光滑曲线具有更大的弧长。

显然，ds = vdt，波纹状的ds更大，所以肯定更费时间。

所以，最速降线的一阶导数肯定是连续变化的，而且一阶导数不能有极值点，也就是说二阶导数不能有零点。

否则，就成了波纹线了：只要把它稍微取直，花费的时间就会减少。

波纹线肯定不是最速降线

为了求出最速降线，我们假设已经求出了最速降线！

那么，只要曲线稍微有一点变动，时间就会增大。

这个方法就跟一元一次方程一样：要求某个未知数，就先设个未知数，假设它已经求出来了，然后让它直接参与运算[呲牙]

假设最速降线已经求出来了，任何微小的改变都会让时间增大，所以最速降线是时间的极小值：

可以把叫做y(x)的微小扰动，所以这种方法一般叫做微扰论，实际上就是反证法。

令 那么在微扰之后就变成了

时间t的改变量是微扰前后L的差对dx的积分。

在获得最优解的情况下，时间t的改变量应该为0，这种方法叫做变分法。

欧拉-拉格朗日方程的推导，左侧

如果只把L按照y和y'的一阶导数展开，计算结果就是大名鼎鼎的欧拉-拉格朗日方程。

上图的左侧，就是欧拉-拉格朗日方程的推导过程（之前发过）。

上图的右侧，是把最速降线的公式代进去之后的结果：

如下图，化简之后，获得最速降线的微分方程 2yy'' + y' ^2 + 1 = 0.

微分方程的求解

解出来之后，获得x和y的参数方程，就是最速降线的解析式。

还可以进一步求出时间t的代数表达式来，如下图：

时间t的表达式

从可得

3，极限推理，

当起点-终点所在的两条竖直线极为接近的情况下：

最速降线趋近于直线，角度参数趋近于0，

正弦函数约等于角度：

（当x趋向于0时，sinx / x趋向于1）

也可以从x的参数方程看出来：

所以

也就是说：

t = (2y/g)^0.5，

y = 1/2 gt^2.

这与自由落体运动的位移时间公式是一样的。

所以，自由落体运动是最速降线的极限情况。

自由落体是最速降线的极限情况