垂径定理怎么证明

垂径定理是：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

推论一：平分弦的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

但是在做不需要写证明过程的题目中，可以用下面的方法进行判断：

在5个条件中：

1、平分弦所对的一条弧。

2、平分弦所对的另一条弧。

3、平分弦。

4、垂直于弦。

5、经过圆心，或者说直径。

只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论。

垂径定理推论10种证明方法

垂径定理及其推论：

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线．

（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理，理解深刻，记忆准确，有利于应用．

定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

推论一:平分弦(不是直径)，的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

(证明时的理论依据就是上面的五条定理)

如图

，在⊙o中，dc为直径，

ab是弦，ab⊥dc，ab、cd交于e，求证：ae=be，弧ac=弧bc，弧ad=

弧bd

垂径定理证明图

连oa、ob

∵oa、ob是半径

∴oa=ob

∴△oab是等腰三角形

∵ab⊥dc

∴ae=be，∠aoe=∠boe（等腰三角形三线合一）

∴弧ad=弧bd，∠aoc=∠boc

∴弧ac=弧bc

垂径定理又称“5-2-3”定理

其意为：①cd是⊙o直径ab是弦;②cd⊥ab;③ae=be;④弧ad=弧bd;⑤弧ac=弧bc

在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.

以下是推论

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

(证明时的理论依据就是上面的五条定理)

但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论

1.平分弦所对的优弧

2.平分弦所对的劣弧

（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）

3.平分弦

(不是直径)

4.垂直于弦

5.经过圆心

6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

如何证明垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

几何语言：

∵CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，

∴AE=BE，AD=BD，AC=BC

垂径定理是“圆”一章的重要内容。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化;它不仅是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为今后进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据。由于它在教材中处于非常重要的位置，所以成为每年中考必考的知识点之一。

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