收敛的必要条件

收敛的必要条件是通项an趋于0，一般验证一个级数是否收敛，首先看通项an是否趋于0，若不满足这条则可以判断该级数发散。如果这条满足，并不能保证级数收敛。需要继续验证别的条件，例如用比较判别法。

收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变，两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数，在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性，原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛。

级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：

（1）一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示。

（2）另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

级数收敛的必要条件和充分条件

简单分析一下即可，详情如图所示

级数收敛的必要条件

级数收敛的必要条件：通项an趋于0。

一般的课本上在讨论正项级数的收敛判别法时会介绍比式判别法（达朗贝尔判别法）、根式判别法（柯西判别法）、柯西积分判别法以及拉贝判别法（Raabe判别法）。本文再补充介绍一些其他的判别法。

库默尔(Kummer)判别法

设, 是一个正项级数。做序列

若存在自然数使得成立，其中，则级数收敛;

若存在自然数使得且级数发散，则级数发散。

证明：(1) 不妨设对一切自然数都成立(想一想为什么？). 则

即

这说明是递减数列，因而存在极限。因此级数

收敛, 于是由比较判别法及(1)式可得级数收敛.

(2) 如果

则

因此以上诸式相乘可得

由比较判别法可知发散。

库默尔判别法的极限形式：

设

那么当时级数收敛；当时级数发散。

例1(达朗贝尔判别法).

令, 则

其中且设. 这时

如果, 则, 于是由库默判别法可知级数收敛；

如果, 则, 于是由库默尔判别法可知级数发散。

这其实就是达朗贝尔判别法。

例2(拉贝判别法).

令. 则

其中且设. 这时

如果, 则, 由库默尔判别法可知级数收敛；

如果, 则, 由库默尔判别法可知级数发散。

这其实就是拉贝判别法。

正项级数收敛的充要条件

数项级数收敛的充要条件是：级数的前n项和Sn满足A=lim(n->+∞) Sn，即Sn的极限是存在的，那么数项级数收敛于这个极限A。

正项级数的部分和是单调递增的数列，递增如果有上界，那么收敛。因此才说部分和有界则正项级数收敛。当Sn里的n很大的时候，Sn趋近一个数，就说明正项级数收敛，并且收敛于这个数。

扩展资料

数项级数收敛概述：

无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。

无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。

级数收敛的必要条件

级数收敛的必要条件：通项an趋于0。一般验证一个级数是否收敛，首先看通项an是否趋于0，若不满足这条则可以判断该级数发散。如果这条满足，并不能保证级数收敛。

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

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