数列收敛的充要条件

数列收敛的充要条件：数列收敛的充要条件：设{Xn}为一已知数列，A是一个常数。如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N=N（ε），使得当n>N时，有|Xn-A|

数列（sequenceofnumber），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

数列收敛的充要条件是任意子列收敛

第一个重要极限

第二个重要极限

扩展资料：

若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

柯西列是收敛列的充要条件是有收敛子列

lim(x趋向于0+）x^tanx

=e^lim(x趋向于0+）lnx^tanx

=e^lim(x趋向于0+）lnx*tanx

=e^lim(x趋向于0+）lnx/cotx (∞/∞)

=e^lim(x趋向于0+）(1/x)/(-csc^2x)

=e^lim(x趋向于0+）-sinx

=e^0

=1

极限函数的意义：

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a。

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε，这样的数列{xn} 便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的，即为充分必要条件。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

证明数列收敛的充要条件是子数列收敛且相等

证明=>

{an}收敛于a=>对任意ε>0,存在N>0,对任意n>N时，有|an-a|<ε（下面使用这个结论）

所以对于子列{a2n-1},沿用上面由ε确定的N，显然n>N时有2n-1>n,所以对任意ε>0,存在N,对任意n>N,|a(2n-1)-a|<ε，即证{a2k-1}收敛

同样对于子列{a2n},沿用上面由ε确定的N，显然n>N时有2n>n,所以对任意ε>0,存在N,对任意n>N,|a2n-a|<ε，即证{a2n}收敛

证明<=

{a2n-1}收敛=>对任意ε>0,存在N1>0,对任意n>N1时，有|a(2n-1)-a|<ε

{a2n}收敛=>对任意ε>0,存在N2>0,对任意n>N2时，有|a2n-a|<ε

取N=max{N1,N2},则对任意ε>0,对任意n>N时，有|an-a|<ε

即证{an}收敛

级数收敛的必要条件是什么

数列收敛是设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|

如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

扩展资料：

用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a、列表法；b、图像法；c、解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

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