隐零点问题题型归类

在与不等式证明有关的导数题中，我们常常遇到这样一种情形，对目标函数求导后，所得方程ｆ＇（ｘ）=０为超越方程，我们不能解出零点，但题目的求解又必须利用ｆ＇（ｘ）=０的条件，我们把这类题目称之为隐零点问题。

隐零点问题常见的类型有两种，一种是利用零点存在性定理确定超越方程零点所在区间，并利用区间范围得到所求不等式；另一种是将超越方程转化与化归，让方程的两边化为同构的两个函数，再通过证明单调性解题。

高中数学难在哪里?如何轻松学好高中数学?

高中数学究竟难在哪里？

难点一：函数，函数贯穿整个高中学习,高一学习基本初等函数,高二学习函数与导数,而且函数思想和方法都可以用在其他很多知识点上.函数占高考数学30%左右的分数,可想而知其重要性.其难点在于理解,它本身具有的抽象和变化,很多人抓不住,另外作为压轴题的导数题,更是没几个人能做出来.

破解方法：确实，函数是贯穿整个中学数学的一根主线，其内容包括两个方面：性质和图像.函数知识的外延主要结合在方程（零点）、不等式等方面.处理这两类问题的主导思想是转化，其转化的方向为借助函数的图像与性质求解.在转化的路径上，我们研发了函数解题思维“∞”图，可以确定地说，函数所有问题的思考路径都离不开它的指导，因此所有函数问题一招制胜.

难点二：导数.导数作为高考数学的重要考查内容，常常作为压轴题在高考中出现，其试题的难度呈逐年上升的趋势，证明函数不等式作为导数的难点，让很多考生望题却步.其中在近几年高考压轴题中有三类函数不等式问题比较热，其中一类是隐零点问题，一类是双零点问题或极值点偏移问题，一类是零点存在性的赋值问题.

隐零点问题的破解方法：证明函数不等式，常常转化为函数单调性或最值，涉及单调性、极值和最值，而这涉及导函数的零点问题，如果导函数的零点不可求，我们称为隐极点问题或隐零点问题.全国卷压轴题在这方面的考查常常在不断地传承中创新.

对于隐零点问题，其题目的结构特征往往呈现出指数函数、对数函数、三角函数、幂函数四者中的两者混合形态，之所以要引入隐零点，归根到底还是导数零点无法求出.在引入了隐零点之后，接下来的转换原则可以用七个字来概括“指对三角幂上转”，意思是将指数结构，对数结构和三角结构都往幂函数上转换，究其根本原因，是因为幂函数是我们的好朋友，是我们最熟悉的小伙伴（其高等背景则是泰勒公式）.转换后往往需要配套零点定理去估值，最后对整体进行处理.

隐零点问题

lnx=1/x这种方程是求不出准确解的，只能求它的近似值。

一般在导数题目中是不需要求出这个根的，这类零点不可求的问题称为隐零点问题，通常的做法是隐零点代换，有时需要卡出零点所在的区间。

设f(x)=lnx-1/x，x∈(0,+∞)，则f'(x)=1/x+1/x²>0,f(x)在(0,+∞)内单调递增

因为f(1)=-1<0，f(2)=ln2-1/2>0，所以零点在区间(1,2)内。

导数零点问题解题技巧

要求函数零点，及f（x）=0

最基本的一次函数、二次函数等初等函数再此不作过多介绍，主要研究较复杂的函数。题型可能出现位置：12题、16题、20题（以全国卷为标准）

方法一：求导分析法

该方法主要适用于项数较多且含有较少的参量的函数且是证明零点存在性问题

结合函数零点存在性定理进行分析

零点存在性定理 ：一般地，如果函数y=f（x）在[a，b]上是连续不断的曲线，且有f（a）*f（b）＜0，那么y=f（x）在（a，b）上有零点，存在c∈（a，b），使得f（c）=O，c也就是f（x）=0的根．（注意零点不唯一）

若函数在该区间单调→零点唯一

运用方法：代值（ab）求得在在单调函数上有f（a）*f（b）<0，即可证明在该区间内有零点

方法二：参变分离法

该方法主要适用于在规定个数零点求参量范围大小问题

步骤：在函数=0的方程上作出适当的移项而得出几个基本函数求交点问题

例如：G(x)=f（x）-g（x），求G（x）零点，即可变化为一下几种

1.f（x）=g（x）的交点（一般以一次函数和其他函数的交点情况较多，求切线临界态即可）

2.f（x）/g（x）=C(常数)的交点

三次函数求零点小技巧

1.试值（-2、-1、0、1、2等）

2.配方使前2个组成一个组其零点为上述所求，再将后式整合在一起即可

例如：求x^3-5x^2+3x+9=0的零点

1、猜根，当x=-1时，方程成立

2、配凑，x^3+x^2-3(2x^2-x-3）→(x^2)(x+1)-(x+1)(2x-3)

3、整合，(x-3)^2(x+1)

4、求根，x=3或-1

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