立体几何求点到平面的距离

立体几何求点到平面的距离公式：d=|n.MP|/|n|。数学上，立体几何是3维欧氏空间的几何的传统名称—-因为实际上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。

几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何学发展历史悠长，内容丰富。

空间向量和立体几何中最值范围问题

平面的法向量a，点为A。找平面上一点B【以下AB为向量】。

公式：距离＝向量AB和法向量a的数量积的绝对值除以法向量的模长。

在此情况下，一般是由点向平面作垂线，将垂线与平面内有关的线段构成平面几何图形，利用勾股定理或三角函数，求出要求的距离。

扩展资料

点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离，特殊的有，当点在平面内，则点到平面的距离为0。

其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（所以D=0时，平面过原点）。

向量的模（长度）给定一个向量V（x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)。

怎么求点到面的距离?

在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本文总结几种求点到平面距离的常用方法,供参考.

一 直接法

根据空间图形的特点和性质,找到垂足的位置,直接向平面引垂线,构造可解的直角三角形求解.

例1.（1998年全国高考题）已知斜三棱柱 的侧面 与底面ABC垂直,,且 ；（I）求侧棱 与底面ABC所成角的大小；（II）求侧面 与底面ABC所成二面角的大小；（III）求顶点C到侧面 的距离.

图1

简析：（I）如图1,取AC中点D,易得侧棱 与底面ABC所成的角为 .

（II）由于 底面ABC,过D作 于E,连 ,知 ,则 为所求二面角的平面角.易求得 .

（III）要求C到平面 的距离,可直接作 面 于 ,CH的长就是点到平面的距离.关键是怎样求CH的长.注意到 ,连BH,则由三垂线定理得 ,即 为二面角的平面角.由（II）知 ,所以 为所求.

注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解.

二.找垂面法

找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段.

例2.正三棱柱 的底面边长为2,侧棱长为 ,的中点为D.（1）求证 平面 ；（2）求点B到平面 的距离.

图2

简析：（1）连 与 相交于O,连DO.由三角形中位线定理易得 ,则 .

（2）由于O为 的中点,所以点B到平面 的距离等于点 到平面 的距离.

由 ,得 ,又 ,所以面 ,交线为AD（找到了垂面）.

过 作 于H,则 ,所以 的长度就是点 到平面 的距离.

在 中,

所以点B到平面 的距离为 .

三.转化法

当由点向平面引垂线发生困难时,可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离.

例3.（1991年全国高考题）已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.

简析：如图3,连AC分别与BD相交于O,与EF相交于H,由EF//BD,得BD//平面EFG.所以O到平面EFG的距离就是B到平面EFG的距离.易证平面 平面GEF,交线为GH.在 中,过O作 于K,则OK长就是B到平面EFG的距离.利用相似三角形,易得 .

图3

四.等积法

即利用三棱锥的换底法,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效,减少了推理,但计算较为复杂.

例4.同例3.

简析：设B到面EFG的距离为h,

由于 ,

所以

另一方面,,

所以 ,

得 即为B到平面GEF的距离.

五.坐标向量法

通过建立空间直角坐标系,用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离.

例5.（2003年江苏高考题）如图4,在直三棱柱 中,底面是等腰直角三角形,,侧棱 ,D、E分别是 与 的中点,点E在平面ABD上的射影是 的重心G.（I）求 与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（II）求点A1到平面AED的距离.

图4

简析：（I）易知 为 与平面ABD所成的角.不难求出 .

（II）分别以CA、CB、 为x轴、y轴、z轴,建立如图4所示的空间直角坐标系.

设 ,则A（2a,0,0）,B（0,2a,0）,D（0,0,1）,（2a,0,2）,E（a,a,1）,,

所以

由 ,

解得 .

所以A（2,0,0）,（2,0,2）,E（1,1,1）

易证平面 平面 ,交线为AE,所以点 在平面AED内的射影H在AE上.

设 ,则

由 ,即 ,得

所以

故点 到平面AED的距离为 .

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