单位阵的逆矩阵是什么

单位阵的逆矩阵是本身，设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。

根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身，而且单位矩阵因此独特性在高等数学中也有广泛应用。

什么是逆矩阵?满足什 么条件才有逆矩阵?

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。逆矩阵，或可逆是线性代数中最重要的内容。

1、下列命题等价：

1）A为n阶可逆矩阵

2）A是非奇异的。

3）A是满秩的。

4）A是行满秩的。

5）A是列满秩的。

6）方程组AX=0仅有零解

7）方程组AX=B仅有唯一解。

8）A的行向量组线性无关。

9）A的列向量组线性无关。

10）A的任何特征值均非零。

2、可逆的重要性体现在：

AB=C 表示B线性变换到 C， B与C是等价矩阵。同秩，同可逆或不可逆。是以B的列向量与C的列向量为基构成的向量空间为相同的空间。

扩展资料

逆矩阵性质定理

可逆矩阵一定是方阵。

如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

什么是逆矩阵

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

性质定理：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

扩展资料：

若|A|≠0，则矩阵A可逆，且

其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。

证明：

必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I 。（其中I是单位矩阵）

两边取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。

由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1则det（A）≠0，（若等于0则上式等于0）

充分性：有伴随矩阵的定理，有

（其中

是的伴随矩阵。）

当det（A）≠0，等式同除以det（A），变成

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

参考资料：

怎么逆矩阵解方程

若n阶矩阵A可逆，方法如下图：

使用此方法的时，首先要判断矩阵A是否可逆，只需求行列式不等于0就可逆。

逆矩阵是设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。单位矩阵的逆矩阵是它本身：AB=BA=E，则A=B-1；B=A-1。

相关性质：A与B的地位是平等的，故A、B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵；零矩阵是不可逆的，即取不到B，使OB=BO=E；如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的；单位矩阵E是可逆的，即E=E-1。

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