几何分布的期望

求几何分布的期望公式：Eε=1/p。在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。

几何分布的期望和方差的推导

几何分布，P(X=n)=(1−p)^(n−1)p，随着n增大呈等比级数变化，等比级数又称几何级数。这可能和以前几何学中无限分割图形得到的级数有关。

解题过程：

期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ＝∑ξ＊Pξ，方差为Dξ＝∑（ξ－Eξ）＾2*Pξ，根据方差的概念，可知：

ξ＝∑（ξ－Eξ）＾2*Pξ

＝∑（ξ＾2＋Eξ＾2－2*ξ＊Eξ）＊Pξ

＝∑（ξ＾2*Pξ＋Eξ＾2*Pξ－2*Pξ＊ξ＊Eξ）

＝∑ξ＾2*Pξ＋Eξ＾2*∑Pξ－2*Eξ＊∑Pξ＊ξ

因为∑Pξ＝1而且Eξ＝∑ξ＊Pξ

所以Dξ＝∑ξ＾2*Pξ－Eξ＾2

而∑ξ＾2*Pξ，表示E(ξ＾2)

所以Dξ＝E(ξ＾2)－Eξ＾2

期望：

Eξ＝∑｛ξ＝1，∞｝ξ＊（1-p)^(ξ－1)*p

Eξ＝p＋∑｛ξ＝2，∞｝ξ＊（1-p)^(ξ－1)*p①

(1-p)*Eξ＝∑｛ξ＝1，∞｝ξ＊（1-p)^ξ＊p

(1-p)*Eξ＝∑｛ξ＝2，∞｝（ξ－1)*(1-p)^(ξ－1)*p②

①－②得p*Eξ＝p＋∑｛ξ＝2，∞｝（1-p)^(ξ－1)*p

所以

Eξ＝1＋∑｛ξ＝2，∞｝（1-p)^(ξ－1)

＝∑｛ξ＝1，∞｝（1-p)^(ξ－1)

=lim{x→∞｝／p

=1/p

若要计算方差，可以根据公式Dξ＝E(ξ＾2)－Eξ＾2计算，

其中E(ξ＾2)的计算过程如下：

E(ξ＾2)=∑｛ξ＝1，∞｝ξ＾2*(1-p)^(ξ－1)*p

E(ξ＾2)－Eξ＝∑｛ξ＝1，∞｝ξ＾2*(1-p)^(ξ－1)*p－∑｛ξ＝1，∞｝ξ＊（1-p)^(ξ－1)*p

E(ξ＾2)－Eξ＝∑｛ξ＝1，∞｝ξ＊（ξ－1)*(1-p)^(ξ－1)*p

E(ξ＾2)=1/p＋∑｛ξ＝1，∞｝ξ＊（ξ－1)*(1-p)^(ξ－1)*p①

(1-p)*E(ξ＾2)=(1-p)/p＋∑｛ξ＝1，∞｝ξ＊（ξ－1)*(1-p)^ξ＊p

(1-p)*E(ξ＾2)=(1-p)/p＋∑｛ξ＝2，∞｝（ξ－1)*(ξ－2)*(1-p)^(ξ－1)*p②

由①得

E(ξ＾2)=1/p＋∑｛ξ＝2，∞｝ξ＊（ξ－1)*(1-p)^(ξ－1)*p③

③－②得

p*E(ξ＾2)=1＋∑｛ξ＝2，∞｝2*(ξ－1)*(1-p)^(ξ－1)*p

E(ξ＾2)=1/p＋∑｛ξ＝2，∞｝2*(ξ－1)*(1-p)^(ξ－1)④

(1-p)*E(ξ＾2)=(1-p)/p＋2*∑｛ξ＝2，∞｝（ξ－1)*(1-p)^ξ

(1-p)*E(ξ＾2)=(1-p)/p＋2*∑｛ξ＝3，∞｝（ξ－2)*(1-p)^(ξ－1)⑤

由④得

E(ξ＾2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑｛ξ＝3，∞｝（ξ－1)*(1-p)^(ξ－1)⑥

⑥－⑤得

p*E(ξ＾2)=1＋2*(1-p)＋2*∑｛ξ＝3，∞｝（1-p)^(ξ－1).

p*E(ξ＾2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞｝（1-p)^2*/p.

p*E(ξ＾2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.

E(ξ＾2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p

=1/p＋2*(1-p)/p/p

=(2-p)/p/p

若求方差，根据公式Dξ＝E(ξ＾2)－Eξ＾2得，

Dξ＝（2-p)/p/p－1/p/p

=(1-p)/p^2

以上就是关于几何分布的期望的全部内容，以及几何分布的期望的相关内容,希望能够帮到您。