整数有零吗？

整数有零，但0既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。

整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。

在整数系中，零和正整数统称为自然数。

整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。

不能被2整除的数则叫做奇数。

即当n是整数时，偶数可表示为2n(n为整数)；奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。

素数交换环有零因子吗

有，但是交换环中有一个特例是没有零因子的，我们称无零因子的交换环叫做整环。

整数环有没有常数项

有

全体整数所组成的集合中有两种运算：加法和乘法，而且它们满足下面运算法则：

1） 加法满足结合律；

2） 加法满足加换律；

3） 有一个数0，是对任意整数 ， ；

4） 对任意整数 ，存在整数 ，使 ；

5） 乘法满足结合律；

6） 有一个数1，是对任意整数 ，

7） 加法与乘法满足分配律： ；

8） 乘法满足加换律；

9） 无零因子：如果 ，则 。

我们把满足上述九条运算性质的代数系统称为有理整数环，并用 代表它。

“整除”、“互素”、“倍数”、“因数”、“最大公因数”、“最小公倍数”等概念在小学和中学已介绍，在这里就不再赘述。

现在，我们从抽象的角度对“环”这一代数对象作一概述。

设 是一个非空集合。如果在 的元素之间定义了一种运算，称做加法，即对 中任意两元素 ，都按某法则 对应于 内的一个唯一确定的元素，记作 ，且满足如下运算法则：

（i） 结合律： ；

（ii） 中有一元素0，是对一切 ；

（iii） 对 中任一元素 ，有 ；

（iv） 交换律： 。

又设 内另有一种运算称作乘法，即对 中任意两个元素 ，都按某个法则 对应于 内一个唯一确定的元素，记作 ，且满足如下运算法则：

（v） 结合律： ；

（vi） 加法与乘法有两方面的分配律：

则 成为一个环。

如果一个环 的乘法也满足交换律，则 称为交换环；

如果环 内存在一个元素 ，使 ，则 称为 的单位元素， 称为有幺元的环；

如果环 内存在两个非零元 ，使 ，则 （ ）称为左（右）零因子，这时 称为有零因子环；

如果环 至少包含两个元素，可交换，有幺元，无零因子，则称 为一个整环；

如果 是一个整环，且对 内任一非零元素都有逆元，则 称为一个域。

离散数学知识点笔记

1、乘法运算的零元是0，么元是1。

2、是交换环。不是无零因子环，因为2⊙3=0。不是整环。

3、乘法运算⊙中，5的逆元是5，其余元素都没有逆元。

数域p上的一元多项式环是指什么

是主理想整环。

取环中的任意一个理想I, 则I中必存在次数最低的多项式，不妨设为g(x)，取理想I中的任意一个多项式f(x),作带余除法，f(x)=q(x)g(x)+r(x),其中deg(r(x)),即I包含于，由于g(x)属于I，所以包含于I，相互包含所以相等。所以环的任意一个理想I都是由一个多项式生成，由定义，可知数域p上的一元多项式环是主理想环。显然数域p上的一元多项式环是整环（即不存在零因子），所以数域p上的一元多项式环是主理想整环。

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