文章目录

• Ch12. 无穷级数
• • (一) 常数项级数
  • • 正项级数
    • 交错级数
    • 任意项级数
    • 4个特殊的常数项级数
    • 收敛级数的性质（针对任意项级数）
    • 常数项级数的审敛法
    • • 1.正项级数审敛法(判别法)
      • • (1)比较判别法
        • (2)比较审敛法极限形式
        • (3)比值法
        • (4)根值法
        • (5)收敛的充要条件
        • (6)绝对收敛必收敛 (任意项级数)
      • 2.交错级数审敛法 —— 莱布尼茨收敛定理
      • 3.收敛的分类：绝对收敛与条件收敛
      • 4.常用于举反例的一般项
  • (二) 幂级数
  • • 阿贝尔定理
    • • 阿贝尔定理推论1
      • 阿贝尔定理推论2：条件收敛可得收敛半径
    • 泰勒级数（麦克劳林级数）
    • 0.求 幂级数的 收敛半径、收敛区间、收敛域
    • 1.函数→幂级数 ：函数f(x)f(x)f(x)展开为幂级数
    • 2.幂级数→函数：求 和函数S(x)
    • • 逐项求导、逐项积分求和函数 S(x)
      • 构造微分方程求和函数 S(X)
    • 3.幂级数与常数项级数的相互转化
  • (三) 傅里叶级数
  • • 三角级数
    • 傅里叶级数、傅里叶系数
    • 正弦级数、余弦级数
    • 狄利克雷收敛定理
    • 奇延拓、偶延拓、周期延拓

Ch12. 无穷级数

(一) 常数项级数

正项级数

交错级数

任意项级数

4个特殊的常数项级数

①等比级数

②p级数

③调和级数
∑n=1∞1n=1+12+13+...+1n+...=∞\sum\limits_{n=1}^∞\dfrac{1}{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}+...=∞n=1∑∞​n1​=1+21​+31​+...+n1​+...=∞       发散

④交错调和级数
交错调和级数：收敛
交错p级数：收敛

收敛级数的性质（针对任意项级数）

(1)(2)加减数乘都收敛

例题：06年9.

分析：ABC仅对正项级数成立。
举反例：
AB：an=(−1)n⋅1na_n=(-1)^n·\dfrac{1}{n}an​=(−1)n⋅n1​

C：an=(−1)n⋅1na_n=(-1)^n·\dfrac{1}{\sqrt{n}}an​=(−1)n⋅n​1​

答案：D

常数项级数的审敛法

1.正项级数审敛法(判别法)

(1)比较判别法

大的收敛，小的收敛；
小的发散，大的发散。

例题：09年4.  正项级数的比较审敛法、举反例

分析：
对于A，取an=bn=(−1)n1na_n=b_n=(-1)^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}an​=bn​=(−1)nn​1​，则anbn=1na_nb_n=\dfrac{1}{n}an​bn​=n1​，为调和级数，发散

对于C，用正项级数的比较审敛法证明C正确：lim⁡n→∞an2bn2∣bn∣=lim⁡n→∞an2∣bn∣=0∴∣bn∣\lim\limits_{n→∞}\dfrac{a_n^2b_n^2}{|b_n|}=\lim\limits_{n→∞}a_n^2|b_n|=0 \quad ∴|b_n|n→∞lim​∣bn​∣an2​bn2​​=n→∞lim​an2​∣bn​∣=0∴∣bn​∣更大。由比较审敛法，大的收敛，则小的an2bn2a_n^2b_n^2an2​bn2​必收敛

答案：C

(2)比较审敛法极限形式

(3)比值法

ρ=lim⁡n→∞un+1un{ρ<1，收敛ρ>1，发散ρ=1，不定，可能收敛可能发散ρ=\lim\limits_{n→∞}\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \qquad \qquad \left\{\begin{aligned} ρ & < 1，收敛 \\ ρ & > 1，发散 \\ ρ & =1，不定，可能收敛可能发散 \end{aligned}\right.ρ=n→∞lim​un​un+1​​⎩⎨⎧​ρρρ​<1，收敛>1，发散=1，不定，可能收敛可能发散​

(4)根值法

(5)收敛的充要条件

(6)绝对收敛必收敛 (任意项级数)

(7)极限审敛法

(8)积分判别法

(9)A-D判别法(任意项级数)

2.交错级数审敛法 —— 莱布尼茨收敛定理

莱布尼茨收敛定理：
若交错级数 ∑n=1∞(−1)n−1un\sum_{n=1}^∞(-1)^{n-1}u_n∑n=1∞​(−1)n−1un​ 满足 unu_nun​单调递减趋于0，则交错级数收敛
即满足 (1)un≥un+1u_n≥u_{n+1}un​≥un+1​  (2)lim⁡n→∞un=0\lim\limits_{n→∞}u_n=0n→∞lim​un​=0.

例题：11年2.

分析：显然 ∑n=1∞an(x−1)n\sum\limits_{n=1}^∞a_n(x-1)^nn=1∑∞​an​(x−1)n 的收敛中心为 x=1，故排除AB
代入x=2，得发散，所以2处应该为开区间，选C

答案：C

3.收敛的分类：绝对收敛与条件收敛

绝对收敛：∑n=1∞un收敛，∑n=1∞∣un∣也收敛绝对收敛：\sum\limits_{n=1}^∞u_n收敛，\sum\limits_{n=1}^∞|u_n|也收敛绝对收敛：n=1∑∞​un​收敛，n=1∑∞​∣un​∣也收敛（本身收敛，各项加绝对值也收敛）
条件收敛：∑n=1∞un收敛，∑n=1∞∣un∣发散条件收敛：\sum\limits_{n=1}^∞u_n收敛，\sum\limits_{n=1}^∞|u_n|发散条件收敛：n=1∑∞​un​收敛，n=1∑∞​∣un​∣发散（本身收敛，各项加绝对值发散）

1.级数共有绝对收敛、条件收敛和发散三种情况。收敛级数只有绝对收敛和条件收敛两种情况。
2.∑n=1∞anxn在x=x0处条件收敛，则收敛半径R=x0\sum\limits_{n=1}^∞a_nx_n在x=x_0处条件收敛，则收敛半径R=x_0n=1∑∞​an​xn​在x=x0​处条件收敛，则收敛半径R=x0​

4.常用于举反例的一般项

an=1na_n=\dfrac{1}{n}an​=n1​ 或 an=(−1)n⋅1na_n=(-1)^n·\dfrac{1}{n}an​=(−1)n⋅n1​

an=(−1)n⋅1na_n=(-1)^n·\dfrac{1}{\sqrt{n}}an​=(−1)n⋅n​1​

例题：09年4.

(二) 幂级数

幂级数定义：∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x22+a3x3+...+anxn+...\sum\limits_{n=0}^∞a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^22+a_3x^3+...+a_nx^n+...n=0∑∞​an​xn=a0​+a1​x+a2​x22+a3​x3+...+an​xn+...

例题1：10年14.   数字特征与幂级数

答案：2

阿贝尔定理

阿贝尔定理推论1

当|x| 当|x|>R时，幂级数发散；
当x = R或x = -R时，幂级数敛散性不定，可能收敛也可能发散.

正数R称为幂级数的收敛半径。开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间。

阿贝尔定理推论2：条件收敛可得收敛半径

若∑n=0∞anxn在x=x0处条件收敛，则收敛半径R=x0\sum\limits_{n=0}^∞a_nx^n在x=x_0处条件收敛，则收敛半径R=x_0n=0∑∞​an​xn在x=x0​处条件收敛，则收敛半径R=x0​

证明：由Abel定理，
①∑n=0∞anxn在x=x0\sum\limits_{n=0}^∞a_nx^n在x=x_0n=0∑∞​an​xn在x=x0​处收敛，则∣x∣<∣x0∣|x|<|x_0|∣x∣<∣x0​∣的一切x使得幂级数绝对收敛，即R≥x0R≥x_0R≥x0​。

②若 R=x0+εR=x_0+εR=x0​+ε，则∣x∣<∣x0+ε∣|x|<|x_0+ε|∣x∣<∣x0​+ε∣的一切x使得幂级数绝对收敛，即x=x0

综上①②，收敛半径R=x0R=x_0R=x0​

例题1：15年3.(好题)

例题2：11年2.

泰勒级数（麦克劳林级数）

1+x+x2+x3+...+xn+...=11−x=∑n=0∞xn(−1

ex=∑k=0∞xkk!e^x=\sum\limits_{k=0}^∞\dfrac{x^k}{k!}ex=k=0∑∞​k!xk​

∴e=∑k=0∞1k!=lim⁡x→∞(1+1x)x∴e=\sum\limits_{k=0}^∞\dfrac{1}{k!}=\lim\limits_{x→∞}(1+\dfrac{1}{x})^x∴e=k=0∑∞​k!1​=x→∞lim​(1+x1​)x

0.求 幂级数的 收敛半径、收敛区间、收敛域

1.收敛半径R：
ρ=lim⁡n→∞∣an+1an∣R=1ρρ=\lim\limits_{n→∞}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|\qquad \qquad R=\dfrac{1}{ρ}ρ=n→∞lim​∣an​an+1​​∣R=ρ1​
2.收敛区间：(−R,R)(-R,R)(−R,R)         收敛区间是开区间
3.收敛域：在收敛区间的基础上，验证x=R和x=-R两个端点

1.函数→幂级数 ：函数f(x)f(x)f(x)展开为幂级数

函数→幂级数：
①凑标杆：先求导或积分到标杆 11−x\dfrac{1}{1-x}1−x1​ 的形式 (x可以为任意形式)，以“标杆”为桥梁变成幂级数∑n=0∞xn\sum\limits_{n=0}^{∞}x^nn=0∑∞​xn (x可以为任意形式)。
②凑题干：和分两项，尽力合并，注意题干是n=0还是n=1，努力把两项变一项，凑成题干的形式
③求常数项级数：此时的求常数项级数，就是把幂级数中的x代入特定值。

例题1：01年13.

分析：

答案：π4−12\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{2}4π​−21​

2.幂级数→函数：求 和函数S(x)

1.会标杆：重要的展开式
2.幂级数求导和积分要会

1.重要“标杆”：
∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+...+xn+...=11−x(−1 及其变形:
∑n=1∞xn=x+x2+x3+...+xn+...=x1−x(−1

逐项求导、逐项积分求和函数 S(x)

①有分子就先积分消分子，凑标杆为函数，再求导。
②有分母就先求导消分母，凑标杆为函数，再积分。
一次求导(到凑标杆)，对应一次积分。两次求导(到凑标杆)，对应两次积分
一次积分(到凑标杆)，对应一次求导。两次积分(到凑标杆)。对应两次求导

例题1：17年12.   积分消分子，凑标杆，再求导回来

分析：

答案：1(1+x)2\dfrac{1}{(1+x)²}(1+x)21​

例题2：05年16.  求收敛区间、和函数

答案：

构造微分方程求和函数 S(X)

含有常数项递推式，求和函数，一般是需要对S(x)求导，找到一阶微分方程，用公式法求解y=S(x)

例题1：20年17.

答案：

3.幂级数与常数项级数的相互转化

∑n=0∞an\sum\limits_{n=0}^∞a_nn=0∑∞​an​ 是 x=1时的∑n=0∞anxn\sum\limits_{n=0}^∞a_nx^nn=0∑∞​an​xn

例题1：15年3.  幂级数与常数项级数的转化、阿贝尔定理推论2

分析：

答案：B

(三) 傅里叶级数

三角级数

形如下式的级数叫做三角级数
a02+∑n=1∞(ancos⁡nπtl)+bnsin⁡nπtl)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^∞(a_n\cos\frac{nπt}{l})+b_n\sin\frac{nπt}{l})2a0​​+n=1∑∞​(an​coslnπt​)+bn​sinlnπt​)

令πtl=x\dfrac{πt}{l}=xlπt​=x，三角级数可变为
a02+∑n=1∞(ancos⁡nx)+bnsin⁡nx)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^∞(a_n\cos nx)+b_n\sin nx)2a0​​+n=1∑∞​(an​cosnx)+bn​sinnx)
这就把以 2l2l2l 为周期的三角级数转换成以 2π2π2π 为周期的三角级数。

傅里叶级数、傅里叶系数

傅里叶级数：
a02+∑n=1∞(ancos⁡nx)+bnsin⁡nx)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^∞(a_n\cos nx)+b_n\sin nx)2a0​​+n=1∑∞​(an​cosnx)+bn​sinnx)

傅里叶系数：
{an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdx(n=0,1,2,3,...)bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx(n=1,2,3,...)\left\{\begin{aligned} a_n=\frac{1}{π}\int_{-π}^{π}f(x)\cos nx{\rm d}x \quad (n=0,1,2,3,...)\\ b_n=\frac{1}{π}\int_{-π}^{π}f(x)\sin nx{\rm d}x \qquad (n=1,2,3,...) \end{aligned}\right.⎩⎨⎧​an​=π1​∫−ππ​f(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,...)bn​=π1​∫−ππ​f(x)sinnxdx(n=1,2,3,...)​

正弦级数、余弦级数

已知傅里叶系数为：
{an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdx(n=0,1,2,3,...)bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx(n=1,2,3,...)\left\{\begin{aligned} a_n=\frac{1}{π}\int_{-π}^{π}f(x)\cos nx{\rm d}x \quad (n=0,1,2,3,...)\\ b_n=\frac{1}{π}\int_{-π}^{π}f(x)\sin nx{\rm d}x \qquad (n=1,2,3,...) \end{aligned}\right.⎩⎨⎧​an​=π1​∫−ππ​f(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,...)bn​=π1​∫−ππ​f(x)sinnxdx(n=1,2,3,...)​

①当f(x)为奇函数f(x)为奇函数f(x)为奇函数时，f(x)cos⁡nxf(x)\cos nxf(x)cosnx是奇函数，f(x)sin⁡nxf(x)\sin nxf(x)sinnx是偶函数，故
{an=0(n=0,1,2,3,...)bn=2π∫0πf(x)sin⁡nxdx(n=1,2,3,...)\left\{\begin{aligned} a_n=0 \qquad \qquad \qquad \qquad (n=0,1,2,3,...)\\ b_n=\frac{2}{π}\int_0^{π}f(x)\sin nx{\rm d}x \quad (n=1,2,3,...) \end{aligned}\right.⎩⎨⎧​an​=0(n=0,1,2,3,...)bn​=π2​∫0π​f(x)sinnxdx(n=1,2,3,...)​

②当f(x)为偶函数f(x)为偶函数f(x)为偶函数时，f(x)cos⁡nxf(x)\cos nxf(x)cosnx是偶函数，f(x)sin⁡nxf(x)\sin nxf(x)sinnx是奇函数，故
{an=2π∫0πf(x)cos⁡nxdx(n=0,1,2,3,...)bn=0(n=1,2,3,...)\left\{\begin{aligned} a_n=\frac{2}{π}\int_0^{π}f(x)\cos nx{\rm d}x \qquad (n=0,1,2,3,...)\\ b_n =0 \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad (n=1,2,3,...) \end{aligned}\right.⎩⎨⎧​an​=π2​∫0π​f(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,...)bn​=0(n=1,2,3,...)​

即知
奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数：∑n=1∞bnsin⁡nx\sum\limits_{n=1}^∞b_n\sin nxn=1∑∞​bn​sinnx

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数：a02+∑n=1∞ancos⁡nx\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^∞a_n\cos nx2a0​​+n=1∑∞​an​cosnx

例题1：03年3.

分析：

答案：1

狄利克雷收敛定理

设f(x)是周期为2π的周期函数，若它满足：
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点

那么f(x)的傅里叶级数收敛，并且
①当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x) 和函数S(x)=f(x)
②当x是f(x)的间断点时，级数收敛于12[f(x−)+f(x+)]\dfrac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]21​[f(x−)+f(x+)] 和函数S(x)=间断点左右极限的平均值

奇延拓、偶延拓、周期延拓

奇延拓：把(0,π]上的奇函数延展为(-π,π]上的奇函数
偶延拓：把(0,π]上的偶函数延展为(-π,π]上的偶函数
周期延拓：从周期为(-π,π] 延展为周期为2π的周期函数

例题：13年3.   奇延拓、周期延拓

分析：S(x)表达式为正弦函数，说明是奇函数的傅里叶级数，f(x)为奇函数。
观察b_n，知x∈(0,1)
对f(x)进行奇延拓，周期延拓，则f(x)周期为2
∴S(−94)=S(−94+2)=S(−14)=f(−14)=−14∴S(-\frac{9}{4})=S(-\frac{9}{4}+2)=S(-\frac{1}{4})=f(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{4}∴S(−49​)=S(−49​+2)=S(−41​)=f(−41​)=−41​

答案：C