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目录

 二分查找定义

 二分查找效率

二分查找与遍历的对比

二分查找的限制性

 二分查找的限制性（总结）

二分查找搭建 

循环实现二分查找

循环二分查找基本框架：

循环二分查找源码：

递归实现二分查找

递归二分查找基本框架：

递归二分查找源码：

C++二分查找例题【小试牛刀】 

一元三次方程求解

解析：

源码：

 C++二分查找例题【步入神坛】

字符串

解析：【此题非一般人可看（通俗说就是不全是二分查找的问题，跑题了）】

源码：

 二分查找定义

二分查找又称折半查找（Binary Search），优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好，占用系统内存较少;其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功;否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

 二分查找效率

二分查找是啥上面已经说明，现在我们来了解二分查找的效率

二分查找的时间复杂程度是

查找速度有多快呢？我们来实验一下。

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我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

就因为这种特性，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。为什么这么说呢？

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。

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二分查找与遍历的对比

上面也是讲述了二分查找的效率，不够直观，我们可以将二分查找与遍历进行一个对比，就能直观的看出二分查找在速度方面上的优势了

从图中可以看出二分查找用了三步就找到了查找值，而遍历则用了11步才找到查找值，可见二分查找的效率非常之高。 

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刚刚我们对比讲述了一下二分查找的优点，现在讲讲二分查找的局限（该如何正确选择使用二分查找）

二分查找的限制性

1. 二分查找需要利用下标随机访问元素，如果我们想使用链表等其他数据结构则无法实现二分查找。这就说明，二分查找依赖数组结构

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2.二分查找需要的数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用，这就说明了，二分查找针对的是有序数据

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3.如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多，只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。，这就说明了，二分查找不适合数据量太小

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4.二分查找底层依赖的是数组，数组需要的是一段连续的存储空间，所以我们的数据比较大时，比如1GB，这时候可能不太适合使用二分查找，因为我们的内存都是离散的，电脑内存可能没有那么多。这就说明了，数据量太大不适合二分查找

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 二分查找的限制性（总结）

• 二分查找依赖数组结构
• 二分查找针对的是有序数据
• 二分查找不适合数据量太小
• 数据量太大不适合二分查找

二分查找搭建 

二分查找有两种实现方式，接下来依次展开说明

• 循环
• 递归

循环实现二分查找

循环二分查找基本框架：

int BinarySearch(int arr[], int len, int target) {int low = 0;int high = len;int mid = 0;while (low <= high) {mid = (low + high) / 2;if (target < arr[mid]) high = mid - 1;else if (target > arr[mid]) low = mid + 1;else return mid;}return -1;
}

循环二分查找源码：

#include
using namespace std;int BinarySearch(int arr[], int len, int target) {int low = 0;int high = len;int mid = 0;while (low <= high) {mid = (low + high) / 2;if (target < arr[mid]) high = mid - 1;else if (target > arr[mid]) low = mid + 1;else return mid;}return -1;
}
int main() {int array[] = { 7,14,18,21,23,29,31,5,38,42,46,49,52 };int arrayLen = sizeof(array) / sizeof(array[0]);int index = BinarySearch(array, arrayLen, 52);if (index != -1) {cout << "查找" << array[index] << "成功";}else {cout << "查找失败";}return 0;
}

递归实现二分查找

递归二分查找基本框架：

int BinarySearch(int arr[], int low, int high, int target) {if (low > high)return -1;else {int mid = (low + high) / 2;if (target < arr[mid]) return BinarySearch(arr, low, mid - 1, target);else if (target > arr[mid]) return BinarySearch(arr, mid + 1, high, target);else return mid;}
}

递归二分查找源码：

#include
using namespace std;int BinarySearch(int arr[], int low, int high, int target) {if (low > high)return -1;else {int mid = (low + high) / 2;if (target < arr[mid]) return BinarySearch(arr, low, mid - 1, target);else if (target > arr[mid]) return BinarySearch(arr, mid + 1, high, target);else return mid;}
}
int main() {int array[] = { 7,14,18,21,23,29,31,5,38,42,46,49,52 };int arrayLen = sizeof(array) / sizeof(array[0]);int index = BinarySearch(array, 0, arrayLen, 52);if (index != -1) {cout << "查找" << array[index] << "成功";}else {cout << "查找失败";}return 0;
}

现在，大家或多或少已经了解二分查找以及使用了，那么现在，我们就可以去小试牛刀了

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C++二分查找例题【小试牛刀】 

一元三次方程求解

解析：

这道题符合了运用二分查找的四个条件，所以直接运用即可，难度低

源码：

#include
double a,b,c,d;
double fc(double x)
{return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;
}
int main()
{double l,r,m,x1,x2;int s=0,i;scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);  //输入for (i=-100;i<100;i++){l=i; r=i+1;x1=fc(l); x2=fc(r);if(!x1) {printf("%.2lf ",l); s++;}      //判断左端点，是零点直接输出。//不能判断右端点，会重复。if(x1*x2<0)                             //区间内有根。{while(r-l>=0.001)                     //二分控制精度。{m=(l+r)/2;  //middleif(fc(m)*fc(r)<=0) l=m; else r=m;   //计算中点处函数值缩小区间。}printf("%.2lf ",r);  //输出右端点。s++;}if (s==3) break;             //找到三个就退出大概会省一点时间}return 0;
}

相信经过这一道题的练手，大家都能熟练运用了，那么接下来，就让我们进入在二分查找自由翱翔的进阶吧

 C++二分查找例题【步入神坛】

字符串

解析：【此题非一般人可看（通俗说就是不全是二分查找的问题，跑题了）】

设我们的答案为mid(注意这里有坑是[a,b]的所有子串和[c,d]这个子串的最长lcp),那么我们会发现一个很有趣的事实: 如果mid可行的话，那么任意一个比mid小的数也可行

也就是说，问题满足可二分性，那么我们可以二分答案，将原问题转化为一个判定性问题:mid这个答案行不行？

那么我们发现，如果mid这个答案可以的话，就会存在一个后缀S，

1.它的开头在[a,b-mid+1]当中。

2.lcp(S,c)>=mid。

再次转化一步，就是询问满足以上两个条件的后缀S的个数，经典的二元限制统计问题，我们的思路很简单，摁死一个再去管下一个，发现一件有趣的事实：如果把这些后缀排好序，那么lcp符合要求的一定是一段连续的区间，(为什么？，因为我们发现排好序以后，lcp这个函数是单峰的，并且峰值在自己这里)

那么我们似乎可以二分左端点和右端点，为此我们需要O(1)求出区间最小值，为此我们还得写一个St表QAQ

那么最后我们发现现在两个限制都是区间型的了，而且是静态区间，没有修改，所以可以用主席树查询一发……

源码：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=100010;int n;int m;
char mde[N];int sa[N];int rk[2*N];int ht[N];
int x[N];int y[N];queue  q[N];
inline bool cmp(int i,int j){return (x[i]==x[j])&&(y[i]==y[j]);}
inline void rixs()//这里的后缀数组用的是队列实现，常数较大
{for(int i=1;i<=n;i++){q[y[i]].push(i);}int cnt=0;for(int i=0;i<=n;i++){for(;!q[i].empty();q[i].pop()){sa[++cnt]=q[i].front();}}for(int i=1;i<=n;i++){q[x[sa[i]]].push(sa[i]);}cnt=0;for(int i=0;i<=n;i++){for(;!q[i].empty();q[i].pop()){sa[++cnt]=q[i].front();}}rk[sa[1]]=1;for(int i=2;i<=n;i++){rk[sa[i]]=(cmp(sa[i-1],sa[i]))?rk[sa[i-1]]:i;}
}
inline void create_sa()//板子啥的问度娘吧
{for(int i=1;i<=n;i++){q[mde[i]-'a'+1].push(i);}int cnt=0;for(int i=1;i<=26;i++){for(;!q[i].empty();q[i].pop()){sa[++cnt]=q[i].front();}}rk[sa[1]]=1;for(int i=2;i<=n;i++){rk[sa[i]]=(mde[sa[i-1]]==mde[sa[i]])?rk[sa[i-1]]:i;}for(int k=1;k<=n;k*=2){for(int i=1;i<=n;i++){x[i]=rk[i];y[i]=rk[i+k];}rixs();}
}
inline void calch()
{int j=0;int k=0;for(int i=1;i<=n;ht[rk[i++]]=k){for(k=k?k-1:k,j=sa[rk[i]-1];mde[i+k]==mde[j+k];k++);}
}
int st[22][N];int log[N];
inline void calclog()//打表log，方便使用
{int i=0;for(int j=1;j<=n;j++){if((1<<(i+1))<=j)i++;log[j]=i;}}
inline void create_st()//对ht建st表
{for(int i=0;i<=n-1;i++){st[0][i]=ht[i+1];}for(int i=1;i<=log[n];i++){for(int j=0;j