目录

3.6 公式的解释与分类

3.6.1 公式的解释

3.6.2 公式的解释与真值

3.6.3 公式的分类

3.6.4 谓词公式的可判定性

3.7 公式的等价关系

3.7.1 等价

3.7.2 谓词演算中的基本等价公式

3.8 前束范式

3.8.1 前束范式的定义

3.8.2 前束范式的求解步骤

3.9 推理形式和推理规则

3.9.1 推理形式

3.9.2 推理规律

3.9.3 全称特指规则

3.9.4 存在特指规则

3.9.5 全称推广规则

3.9.6 存在推广规则

3.6 公式的解释与分类

3.6.1 公式的解释

谓词逻辑中公式 G 的每一个解释 I 由如下四部分组成：

• 非空的个体域集合 D；
• G 中的每个常量符号，指定 D 中的某个特定的元素；
• G 中的每个 n 元函数符号，指定 D^n 到 D 中的某个特定的函数；
• G 中的每个 n 元谓词符号，指定 D^n 到 {0, 1} 中的某个特定的谓词。

规定：公式中无自由变元，或将自由变元看成是常量符号。

3.6.2 公式的解释与真值

设有解释 I 为：

• 个体域为 D = {α, β}；
• a 指定为：α；
• f(α) = β, f(β) = α；
• P(α) = 1, P(β) = 0，Q(α, α) = 0，Q(α, β) = 1，Q(β, α) = 1，Q(β, β) = 1。

判断公式 (∃x)(P(f(x)) ∧ Q(x, f(a))) 在解释 I 下的真值结果。

解:

当x = α时，P(f(x)) ∧ Q(x, f(a)) = P(f(α) ∧ Q(α, f(α))) = P(β) ∧ Q(α, β) = 0 ∧ 1 = 0

当x = β时，P(f(x)) ∧ Q(x, f(a)) = P(f(β) ∧ Q(β, f(α))) = P(α) ∧ Q(β, β) = 1 ∧ 1 = 1

可见原公式真值为真。

3.6.3 公式的分类

• 如果公式 G 在它所有的解释下都取值为真，则称 G 为有效公式
• 如果公式 G 在它所有的解释下都取值为假，则称 G 为矛盾公式
• 如果至少有一种解释使得公式 G 取值为真，则称 G 为可满足公式

3.6.4 谓词公式的可判定性

• 谓词逻辑是不可判定的；
• 只含有一元谓词变项的公式是可判定的；
• 如下形式的公式：

(∀x1)(∀x2)· · ·(∀xn)P(x1, x2, · · · , xn)，

(∃x1)(∃x2)· · ·(∃xn)P(x1, x2, · · · , xn)。

若 P 中无量词和其它自由变元时，也是可判定的；

• 个体域有穷时的谓词公式是可判定的。

3.7 公式的等价关系

3.7.1 等价

如果公式 G ↔ H 是有效公式，则公式 G,H 称为等价的，记为 G = H。

设 G(P1, P2, · · · , Pn) 是命题演算中的命题公式，P1, P2, · · · , Pn 是出现在 G 中的命题变元，当用任意的谓词公式 Gi(1 ⩽ i ⩽ n) 分别代入 Pi 后，得到的新谓词公式 G(G1, G2, · · · , Gn) 称为原公式的代入实例。

永真公式的任意一个代入实例必为有效公式。

3.7.2 谓词演算中的基本等价公式

假设 G(x), H(x) 是只含自由变元 x 的公式，S 是不含 x 的公式，则在全总个体域中，有

(改名规则)

• (∃x)G(x) = (∃y)G(y))
• (∀x)G(x) = (∀y)G(y)

(量词转换律/量词否定等价式)

• ¬(∃x)G(x) = (∀x)¬G(x)
• ¬(∀x)G(x) = (∃x)¬G(x)

(量词辖域的扩张与收缩律)

• (∀x)(G(x) ∨ S) = (∀x)G(x) ∨ S
• (∀x)(G(x) ∧ S) = (∀x)G(x) ∧ S
• (∃x)(G(x) ∨ S) = (∃x)G(x) ∨ S
• (∃x)(G(x) ∧ S) = (∃x)G(x) ∧ S

(量词分配律)

• (∀x)(G(x) ∧ H(x)) = (∀x)G(x) ∧ (∀x)H(x)
• (∃x)(G(x) ∨ H(x)) = (∃x)G(x) ∨ (∃x)H(x)

(其他)

(∀x)G(x) ∨ (∀x)H(x) = (∀x)(∀y)(G(x) ∨ H(y))

(∃x)G(x) ∧ (∃x)H(x) = (∃x)(∃y)(G(x) ∧ H(y))

对于多个量词的公式，设 G(x, y) 是含有自由变元 x, y 的谓词公式，则有

(∀x)(∀y)G(x, y) = (∀y)(∀x)G(x, y)

(∃x)(∃y)G(x, y) = (∃y)(∃x)G(x, y)

3.8 前束范式

3.8.1 前束范式的定义

称公式 G 是一个前束范式，如果 G 中的一切量词都位于该公式的最前端 (不含否定词) 且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。其标准形式如下：

(Q1x1)(Q2x2)· · ·(Qnxn)M(x1, x2, · · · , xn)

其中 Qi 为量词 ∀ 或 ∃(i = 1, · · · n)，M 称作公式 G 的母式 (基式)，M 中不再有量词。

3.8.2 前束范式的求解步骤

• 消去公式中的联结词“→”,“↔”(如果有的话)
• 反复运用量词转换律，德摩根律和双重否定律，直到将所有的“¬”都内移到原子谓词公式的前端
• 使用谓词的等价公式将所有量词提到公式的最前端并保证其辖域直到公式的末端

例如

求 ¬((∀x)(∃y)P(a, x, y) → (∃x)(¬(∀y)Q(y, b) → R(x))) 的前束范式。

解

消去联结词 “→”,“↔”，得： ¬(¬(∀x)(∃y)P(a, x, y) ∨ (∃x)(¬¬(∀y)Q(y, b) ∨ R(x)))

“¬” 消除和内移，得：

(∀x)(∃y)P(a, x, y) ∧ ¬(∃x)((∀y)Q(y, b) ∨ R(x))

= (∀x)(∃y)P(a, x, y) ∧ (∀x)((∃y)¬Q(y, b) ∧ ¬R(x))

量词左移，得：

(∀x)((∃y)P(a, x, y) ∧ (∃y)¬Q(y, b) ∧ ¬R(x))

= (∀x)((∃y)P(a, x, y) ∧ (∃z)¬Q(z, b) ∧ ¬R(x))

= (∀x)(∃y)(∃z)(P(a, x, y) ∧ ¬Q(z, b) ∧ ¬R(x))

= (∀x)(∃y)(∃z)S(a, b, x, y, z)

即：((∀x)(∃y)(∃z)S(a, b, x, y, z) 为原公式的前束范式，这里 S(a, b, x, y, z) = P(a, x, y) ∧ ¬Q(z, b) ∧ ¬R(x)是母式。

3.9 推理形式和推理规则

3.9.1 推理形式

设 G1,G2, · · · ,Gn，H 是公式，称 H 是 G1, G2, · · · ,Gn 的逻辑结果(或称 G1,G2, · · · , Gn 共同蕴涵H) 当且仅当对任意解释 I，若 I 同时满足 G1, G2, · · · , Gn，则 I 满足 H，记为G1, G2, · · · , Gn ⇒ H，此时称 G1,G2, · · · , Gn ⇒ H 是有效的，否则称为无效的。G1,G2, · · · , Gn称为一组前提 (premise)，有时用集合 Γ 来表示，记Γ = {G1,G2, · · · ,Gn}，H 称为结论(conclusion)，又称 H 是前提集合 Γ 的逻辑结果，记为Γ ⇒ H。

设 G1, G2, · · · ,Gn，H 是公式，公式 H 是前提集合 Γ = {G1,G2, · · · , Gn} 的逻辑结果当且仅当G1 ∧ G2 ∧ · · · ∧ Gn → H 为有效公式。

3.9.2 推理规律

假设 G(x), H(x)是只含自由变元 x 的公式，则在全总个体域中，有

• (∀x)G(x) ⇒ (∃x)G(x);
• (∀x)G(x) ∨ (∀x)H(x) ⇒ (∀x)(G(x) ∨ H(x));
• (∃x)(G(x) ∧ H(x)) ⇒ (∃x)G(x) ∧ (∃x)H(x).
• (∀x)(G(x) → H(x)) ⇒ (∀x)G(x) → (∀x)H(x);
• (∀x)(G(x) → H(x)) ⇒ (∃x)G(x) → (∃x)H(x).

对于多个量词的公式，设 G(x, y) 是含有自由变元 x, y 的谓词公式，则有

• (∃x)(∀y)G(x, y) ⇒ (∀y)(∃x)G(x, y)
• (∀x)(∀y)G(x, y) ⇒ (∃y)(∃x)G(x, y)
• (∀y)(∀x)G(x, y) ⇒ (∃x)(∀y)G(x, y)
• (∃y)(∀x)G(x, y) ⇒ (∀x)(∃y)G(x, y)
• (∀x)(∃y)G(x, y) ⇒ (∃y)(∃x)G(x, y)
• (∀y)(∃x)G(x, y) ⇒ (∃x)(∃y)G(x, y)

3.9.3 全称特指规则

US（全称特指规则）：

(∀x)G(x) ⇒ G(y)，y 不在 G(x) 中约束出现

或：(∀x)G(x) ⇒ G(c)，c 为任意个体常量

3.9.4 存在特指规则

ES（存在特指规则）：

(∃x)G(x) ⇒ G(c) ，c 为使得 G(c) 为真的特定个体常量。

当 G(x) 中还有除 x 之外的自由变元，则必须用关于这些变元的函数符号来取代 c。

3.9.5 全称推广规则

UG（全称推广规则）：

G(y) ⇒ (∀x)G(x)，G(y) 中无变元 x

3.9.6 存在推广规则

EG（存在推广规则）：

G(c) ⇒ (∃x)G(x)，c 为特定个体常量

或：G(y) ⇒ (∃x)G(x)，G(y) 中无变元 x