Frechet distance概念

弗雷彻距离(Frechet distance)定义了一种考虑位置和点的次序的计算两条曲线相似度的方法，常用于时间序列相似度度量和轨迹序列相似度度量。该指标的算法可用the walking dog problem来描述：想象一个人用牵引带遛狗的同时，穿过一条有限弯曲的路径，而狗则穿过一条单独的有限弯曲路径。每个人都可以改变自己的速度来放松牵引带，但都不能向后移动。则两条路径之间的Fréchet距离是牵引带的最短长度，足以让两条弯路从头到尾穿过各自的路径。
严格的数学定义为：
曲线A，B为度量空间S内的两条曲线，即A:[0,1]→SA:[0,1]\rightarrow SA:[0,1]→S,B:[0,1]→SB:[0,1]\rightarrow SB:[0,1]→S。α\alphaα和β\betaβ是单位区间的两个重采样函数，α：[0,1]→[0,1]\alpha：[0,1]\rightarrow [0,1]α：[0,1]→[0,1]。弗雷彻距离为：F(A,B)=inf⁡α,βmax⁡t∈[0,1](d(A(α(t)),B(β(t))))F(A,B)=\inf_{\alpha,\beta}\max_{t\in[0,1]}(d(A(\alpha(t)),B(\beta(t)))) F(A,B)=α,βinf​t∈[0,1]max​(d(A(α(t)),B(β(t))))
通俗的数学定义可以简化为：

代码实现

基于动态规划，求两条轨迹的弗雷彻距离，具体的，将轨迹A和B每步分为三类可能的路径状态，1）A和B都向前移动一步；2）A停留原地，B向前移动一步；3）A向前移动一步，B停留原地；

import numpy as np
from scipy.spatial import distance
from scipy.spatial import minkowski_distance
from scipy.spatial.distance import euclidean
import seaborn as sns
def Frechet_distance(exp_data,num_data):"""cal fs by dynamic programming:param exp_data: array_like, (M,N) shape represents (data points, dimensions):param num_data: array_like, (M,N) shape represents (data points, dimensions)# e.g. P = [[2,1] , [3,1], [4,2], [5,1]]# Q = [[2,0] , [3,0], [4,0]]:return:"""P=exp_dataQ=num_datap_length = len(P)q_length = len(Q)distance_matrix = np.ones((p_length, q_length)) * -1# fill the first value with the distance between# the first two points in P and Qdistance_matrix[0, 0] = euclidean(P[0], Q[0])# load the first column and first row with distances (memorize)for i in range(1, p_length):distance_matrix[i, 0] = max(distance_matrix[i - 1, 0], euclidean(P[i], Q[0]))for j in range(1, q_length):distance_matrix[0, j] = max(distance_matrix[0, j - 1], euclidean(P[0], Q[j]))for i in range(1, p_length):for j in range(1, q_length):distance_matrix[i, j] = max(min(distance_matrix[i - 1, j], distance_matrix[i, j - 1], distance_matrix[i - 1, j - 1]),euclidean(P[i], Q[j]))# distance_matrix[p_length - 1, q_length - 1]sns.heatmap(distance_matrix, annot=True)return distance_matrix[p_length-1,q_length-1] # 最后一步即为弗雷彻距离

参考资料

[1] Thomas Eiter and Heikki Mannila. Computing discrete Frechet distance. Technical report, 1994. http://www.kr.tuwien.ac.at/staff/eiter/et-archive/cdtr9464.pdf http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.937&rep=rep1&type=pdf
[2] similarity_measures python package
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_distance
[4] 通俗的数学描述及动态规划求解