1.2 极限的性质【极限】

1.2.1 唯一性

极限的唯一性

引入

1. 假设警察逮捕罪犯，把犯人追到了悬崖边上，那么犯人只能在悬崖边束手就擒，这个时候悬崖边是犯人逃跑的极限位置，别无去处，位置唯一。
   

2. 考试或比赛的时候都努力争取第一名，第一名是能够取得的最好的名次，第一名的名次是唯一的，不可能有另外的名次比第一名的成绩更靠前，也不可能两个不同的成绩都被评为第一名。

3. 绝对零度（英文：The Absolute Zero），是热力学的最低温度，热力学温标的单位是K（开尔文），绝对零度就是0K（约为-273.15℃或-459.67℉），绝对零度在现实中是无法达到的，只是理论的下限值，在此温度下，物体分子没有动能，在一个特定的物理状态下不可能同时存在两个不同的温度，即温度降低的极限值是唯一的。

唯一性

性质：如果数列或函数极限存在，那么极限唯一。

证明

反证法（数列与函数同理，以数列为例证明）

假设 {an}\left\{a_{n}\right\}{an​} 是一个收敛数列，并且有两个极限KKK和 L\mathrm{L}L ，那么根据极限的定义：

对任意ε>0\varepsilon>0ε>0 , 存在 N1∈N,N2∈NN_{1} \in \mathbb{N}, N_{2} \in \mathbb{N}N1​∈N,N2​∈N , 使得 n>N1⟹∣an−K∣<ε2,n>N2⟹∣an−L∣<ε2n>N_{1} \Longrightarrow\left|a_{n}-K\right|<\frac{\varepsilon}{2}, n>N_{2} \Longrightarrow \mid a_{n} -L \mid<\frac{\varepsilon}{2}n>N1​⟹∣an​−K∣<2ε​,n>N2​⟹∣an​−L∣<2ε​

现在取 N=max⁡{N1,N2}N=\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}N=max{N1​,N2​} , 则 n>N⟹∣an−K∣<ϵ2n>N \Longrightarrow\left|a_{n}-K\right|<\frac{\epsilon}{2}n>N⟹∣an​−K∣<2ϵ​ 并且 ∣an−L∣<ϵ2\left|a_{n}-L\right|<\frac{\epsilon}{2}∣an​−L∣<2ϵ​

根据三角不等式， ∣K−L∣≤∣K−an∣+∣an−L∣<ε2+ε2=ε|K-L| \leq\left|K-a_{n}\right|+\left|a_{n}-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon∣K−L∣≤∣K−an​∣+∣an​−L∣<2ε​+2ε​=ε

上式对于所有的 ε>0\varepsilon>0ε>0 都成立, 故 ∣K−L∣=0,K=L|K-L|=0, K=L∣K−L∣=0,K=L

1.2.2 有界性

引入

假如一个人蹦极：

设地面的高度是000，跳台的高度是HHH，下落的时间变量是 ttt，从跳台到最低点的实际时间是TTT，从跳台上下落的距离是s(t)s(t)s(t)，显然s(t)s(t)s(t)的值不会超过跳台的高度HHH，否则就撞地上了，s(t)s(t)s(t)的取值范围是 [0,H)[0,H)[0,H)，这个取值范围[0,H)[0,H)[0,H)是可能的最大范围。实际运动到最低点下落的距离假设是hhh，即
lim⁡t→Ts(t)=h 这里的HHH就是极限取值的上界。

有界性

极限的有界性

(数列) 如果数列{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​}收敛, 那么数列{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn​}一定有界。

例如：数列xn=n+1nx_{n}=\frac{n+1}{n}xn​=nn+1​，数列极限为111，xnx_{n}xn​的上界是222，下界是111。

注意 反之不成立, 反例为 xn=(−1)nx_{n}=(-1)^{n}xn​=(−1)n。显然，该数列有界但不收敛，由此可得有界是数列收敛的必要条件而非充分条件，无界数列一定发散，但发散数列不一定无界。

(函数) 若lim⁡x→x0f(x)\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)x→x0​lim​f(x) 存在, 则f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​ 某去心邻域有界 (即局部有界)。

注意 反之不成立, 反例为f(x)=sin⁡1xf(x)=\sin \frac{1}{x}f(x)=sinx1​，该函数在x=0x=0x=0的去心邻域有界，但它在 x=0x= 0x=0处的极限 lim⁡x→0sin⁡1x\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}x→0lim​sinx1​不存在.

综上：收敛必有界，有界未必收敛。

1.2.3 保号性

引入

通俗的讲，保号性就是数列项数nnn趋于无穷的过程中，或函数自变量在接近某一点时，数列项或函数值的正负号会变得和极限值的正负号一样。

定义

(数列) 设 lim⁡xn=A\lim x_{n}=Alimxn​=A.

1. 如果 A>0A>0A>0 (或 A<0A<0A<0 ), 则存在N>0N>0N>0, 当 n>Nn>Nn>N 时, xn>0x_{n}>0xn​>0(或 xn<0x_{n}<0xn​<0) ;

2. 如果存在 N>0N>0N>0, 当n>Nn>Nn>N 时, xn⩾0x_{n} \geqslant 0xn​⩾0(或 xn⩽0x_{n} \leqslant 0xn​⩽0 ), 则 A⩾0A \geqslant 0A⩾0 (或 A⩽0A \leqslant 0A⩽0 ).

(函数) 设 lim⁡x→x0f(x)=A\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=Ax→x0​lim​f(x)=A.

1. 如果 A>0A>0A>0 (或 A<0A<0A<0 ), 则存在 δ>0\delta>0δ>0, 当 x∈U˚(x0,δ)x \in \mathring{U}\left(x_{0}, \delta\right)x∈U˚(x0​,δ) 时, f(x)>0f(x)>0f(x)>0( 或 f(x)<0f(x)<0f(x)<0) .

2. 如果存在 δ>0\delta>0δ>0, 当 x∈U∘(x0,δ)x \in \stackrel{\circ}{U}\left(x_{0}, \delta\right)x∈U∘​(x0​,δ)时, f(x)⩾0f(x) \geqslant 0f(x)⩾0 (或 f(x)⩽0f(x) \leqslant 0f(x)⩽0 ), 那么 A⩾0A \geqslant 0A⩾0 (或 A⩽0A \leqslant 0A⩽0 ).

   如果取f(x)>0f(x) > 0f(x)>0 (或 f(x)<0f(x) < 0f(x)<0 ), 那么 A⩾0A \geqslant 0A⩾0 (或 A⩽0A \leqslant 0A⩽0 )此处依然取等。

注意

上述结论 1. 中是严格不等号 (>>> 或 <<<，不包含 ===) 。

如下图所示 f(x)=sin(x)xf(x)=\frac{sin(x)}{x}f(x)=xsin(x)​，数列xn=sin(n)nx_n=\frac{sin(n)}{n}xn​=nsin(n)​是此函数上的点，lim⁡x→∞xn=sin(n)n=0\displaystyle\lim _{x\rightarrow \infty}x_n=\frac{sin(n)}{n}=0x→∞lim​xn​=nsin(n)​=0，xnx_nxn​在会在正负之间不断变化，不会在某一个NNN之后xnx_nxn​大于000或小于000。

如下如所示，lim⁡x→x0f(x)=lim⁡x→x0xsin1x=0\displaystyle\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\displaystyle\lim _{x\rightarrow x_{0}}xsin\frac{1}{x}=0x→x0​lim​f(x)=x→x0​lim​xsinx1​=0，x∈U∘(0,δ)x \in \stackrel{\circ}{U}\left(0, \delta\right)x∈U∘​(0,δ)函数值不具有保号性。

上述结论 2. 中是非严格不等号 (⩾\geqslant⩾ 或 ⩽\leqslant⩽) ，不论数列项或函数值是否取到000，极限值都可以取到000。

如果结论 2. 中取xn>0x_{n} > 0xn​>0(或 xn<0x_{n} < 0xn​<0 )，f(x)>0f(x) > 0f(x)>0 (或 f(x)<0f(x) < 0f(x)<0 )，则 A⩾0A \geqslant 0A⩾0 (或 A⩽0A \leqslant 0A⩽0 )，极限依然取等号。

考研真题

极限保号性的应用

(1995, 数三) 设 lim⁡x→af(x)−f(a)(x−a)2=−1\displaystyle\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^{2}}=-1x→alim​(x−a)2f(x)−f(a)​=−1 , 则在点 x=ax=ax=a 处
(A）f(x)f(x)f(x) 的导数存在, 且 f′(a)≠0f^{\prime}(a) \neq 0f′(a)​=0 .
(B) f(x)f(x)f(x) 取得极大值.
(C）f(x)f(x)f(x) 取得极小值.
(D) f(x)f(x)f(x) 的导数不存在.

【解 1】极限保号性的应用

因为 lim⁡x→af(x)−f(a)(x−a)2=−1<0\displaystyle\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^{2}}=-1<0x→alim​(x−a)2f(x)−f(a)​=−1<0 ，由极限保号性知，存在 δ>0\delta>0δ>0 , 当 x∈U∘(a,δ)x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta)x∈U∘​(a,δ) 时，
f(x)−f(a)(x−a)2<0\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^{2}}<0 (x−a)2f(x)−f(a)​<0
又因为当 x∈U∘(a,δ)x \in \stackrel{\circ}{U}(a, \delta)x∈U∘​(a,δ) 时, (x−a)2>0(x-a)^{2}>0(x−a)2>0 , 则 f(x)−f(a)<0f(x)-f(a)<0f(x)−f(a)<0 , 即 f(x)

【解 2】取特值法

令 f(x)=−(x−a)2f(x)=-(x-a)^{2}f(x)=−(x−a)2 , 显然 f(x)f(x)f(x) 满足题设条件, 但在 x=ax=ax=a 处 f(x)f(x)f(x) 可导且 f′(a)=0f^{\prime}(a)=0f′(a)=0 , 取极大值, 则选项 (A) © (D) 都不正确, 故应选 (B).