目录

一、概念

二、 结点的定义

2.1 键值对pair

2.2 定义细节

三、 AVL树的插入操作

3.1 平衡因子调整规则

3.2 旋转规则

3.2.1 新节点插入较高左子树的左侧 — 左左:右单旋 

3.2.2 新节点插入较高右子树的右侧 — 右右:左单旋

3.2.3 新节点插入较高左子树的右侧 — 左右:左右双旋

3.2.4 新节点插入较高右子树的左侧 — 右左:右左双旋

四、 AVL树的删除操作

五、 AVL树性能分析

六、 完整代码

一、概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但若数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在链表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，若能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
 

一棵AVL树是空树 或 具有以下性质的二叉搜索树：
1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)    右子树高度减去左子树高度
3. 若一棵二叉搜索树是高度平衡的，其就是AVL树。
    若它有n个结点，其高度可保持在log_2 n，搜索时间复杂度O(log_2 n)
4. 不允许键值冗余

二、 结点的定义

2.1 键值对pair

pair是用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量key和value，key代表键值，value表示与key对应的信息

SGI-STL中对于pair的定义:

template 
struct pair
{typedef T1 first_type;typedef T2 second_type;T1 first;T2 second;pair(): first(T1()), second(T2()) {}pair(const T1& a, const T2& b): first(a), second(b) {}
};

但使用时需要显示指定元素类型会导致代码过长，并且频繁使用时较为麻烦，于是出现make_pair进行自动类型推导。其定义为:

template 
pair make_pair (T1 x, T2 y)
{    return ( pair(x,y) );
}

2.2 定义细节

结点中存储了左子树指针、右子树指针和父指针以及一个键值对(即数据域)、平衡因子。不过平衡因子并不是必要的，没有平衡因子同样可以实现AVL树。

struct AVLTreeNode {AVLTreeNode(const pair& kv) :_parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr),_data(kv),_balance_factor(0) {}AVLTreeNode* _parent;AVLTreeNode* _left;AVLTreeNode* _right;pair _data;int _balance_factor;//平衡因子
};

普通二叉树和搜索二叉树都是二叉链(没有父指针)，为什么AVL树会需要使用三叉链呢？

这个问题可以从后面的讲解得到答案。
插入和删除结点、旋转 、平衡因子调整，这些操作都会需要频繁的使用父指针，使用三叉链可以减少查找父结点的时间复杂度并且使得AVL树的实现更加方便。

三、 AVL树的插入操作

AVL本质上就是具有特殊性质的二叉搜索树，其插入操作与二叉搜索树较为相似，不过更为复杂。

AVL树的插入过程可以分为两步
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点    2. 调整节点的平衡因子

bool insert(const pair& kv) {//第一步: 按照二叉搜索树的方式插入新节点 if (_root == nullptr) {_root = new TreeNode(kv);return true;}TreeNode* parent = nullptr;TreeNode* cur = _root;while (cur != nullptr) {if (kv.first > cur->_data.first) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_data.first) {parent = cur;cur = cur->_left;}else return false;}cur = new TreeNode(kv);if (kv.first > parent->_data.first) {parent->_right = cur;}else { //kv.first < parent->_data.first)parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//调整平衡因子//………………    
}

但是平衡因子是如何调整的呢？

3.1 平衡因子调整规则

1. 若新增结点在其父结点的左边，则父结点的平衡因子 -1；若新增结点在其父结点的右边，则父结点的平衡因子 +1。

2. 更新后，若父结点的平衡因子为1 或 -1，说明插入前父结点的平衡因子为0,插入后父结点所在子树的高度发生变化，需要继续向上更新

3.更新后，若父结点的平衡因子为0，说明插入前父结点的平衡因子为1 或 -1，插入到了父结点矮的一边，父结点所在子树的高度并未发生变化，所以不需继续向上更新

4.更新后，若父结点的平衡因子为2 或 -2，说明插入前父结点的平衡因子为1 或 -1(达到平衡临界值)，插入后已经破坏平衡，此时父结点所子树需要进行旋转处理

5.更新后，若父结点的平衡因子的绝对值大于2(理论上而言不可能)，说明插入前该树就不是AVL树，需检查之前的操作。

while (parent != nullptr){//规则1if (cur == parent->_right) ++parent->_balance_factor;else --parent->_balance_factor;//规则2if(parent->_balance_factor == 0) break;//规则3else if (abs(parent->_balance_factor) == 1) {cur = parent;parent = parent->_parent;}//规则4else if (abs(parent->_balance_factor) == 2) {//需要旋转//………………}//规则5else {assert(false);}return true;
}

3.2 旋转规则

AVL树的旋转可以分为四种:

3.2.1 新节点插入较高左子树的左侧 — 左左:右单旋 

//发生右旋的判断条件
if (parent->_balance_factor == -2 && cur->_balance_factor == -1) {rotate_right(parent);
}

void rotate_right(TreeNode* parent) {TreeNode* subL = parent->_left;TreeNode* subLR = subL->_right;TreeNode* pparent = parent->_parent;//发生旋转的子树的父结点parent->_left = subLR;if (subLR != nullptr) subLR->_parent = parent;//h可能为0,即空树subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//父结点所在的子树发生右旋转后，该子树的根结点发生改变if (_root == parent) {_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else {if (pparent->_left == parent) pparent->_left = subL;else pparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}//更新平衡因子subL->_balance_factor = parent->_balance_factor = 0;
}

3.2.2 新节点插入较高右子树的右侧 — 右右:左单旋

//发生左旋的判断条件
if (parent->_balance_factor == 2 && cur->_balance_factor == 1) {rotate_left(parent);
}

void rotate_right(TreeNode* parent) {TreeNode* subL = parent->_left;TreeNode* subLR = subL->_right;TreeNode* pparent = parent->_parent;//发生旋转的子树的父结点parent->_left = subLR;if (subLR != nullptr) subLR->_parent = parent;//h可能为0，即空树subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//parent所在的子树发生左旋转后，该子树的根结点发生变化if (_root == parent) {_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else {if (pparent->_left == parent) pparent->_left = subL;else pparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}//更新平衡因子subL->_balance_factor = parent->_balance_factor = 0;
}

3.2.3 新节点插入较高左子树的右侧 — 左右:左右双旋

void rotate_left_right(TreeNode* parent) {TreeNode* subL = parent->_left;TreeNode* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_balance_factor;rotate_left(parent->_left);rotate_right(parent);//更新平衡因子subLR->_balance_factor = 0;//情况一if (bf == 1) {parent->_balance_factor = 0;subL->_balance_factor = -1;}//情况二else if (bf == -1) {parent->_balance_factor = 1;subL->_balance_factor = 0;}//情况三else if (bf == 0) {parent->_balance_factor = 0;subL->_balance_factor = 0;}else assert(false);
}

3.2.4 新节点插入较高右子树的左侧 — 右左:右左双旋

void rotate_right_left(TreeNode* parent) {TreeNode* subR = parent->_right;TreeNode* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_balance_factor;rotate_right(parent->_right);rotate_left(parent);//调整平衡因子subRL->_balance_factor = 0;//情况一if (bf == 1) {parent->_balance_factor = -1;subR->_balance_factor = 0;}//情况二else if (bf == -1) {parent->_balance_factor = 0;subR->_balance_factor = 1;}//情况三else if (bf == 0) {parent->_balance_factor = 0;subR->_balance_factor = 0;}else assert(false);
}

四、 AVL树的删除操作

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不
过与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

后续完善………………
 

五、 AVL树性能分析

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1
这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(log_2 N)
但是若要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下。比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置
因此若需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合

六、 完整代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using std::cout;
using std::endl;
using std::max;
using std::swap;
using std::pair;
using std::make_pair;template
struct AVLTreeNode {AVLTreeNode(const pair& kv) :_parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr),_data(kv),_balance_factor(0) {}AVLTreeNode* _parent;AVLTreeNode* _left;AVLTreeNode* _right;pair _data;int _balance_factor;//平衡因子
};template
class AVLTree 
{typedef AVLTreeNode TreeNode;
public:bool insert(const pair& kv) {if (_root == nullptr) {_root = new TreeNode(kv);return true;}TreeNode* parent = nullptr;TreeNode* cur = _root;while (cur != nullptr) {if (kv.first > cur->_data.first) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_data.first) {parent = cur;cur = cur->_left;}else return false;}cur = new TreeNode(kv);if (kv.first > parent->_data.first) {parent->_right = cur;}else { //kv.first < parent->_data.first)parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//控制平衡//更新平衡因子while (parent != nullptr){if (cur == parent->_right) ++parent->_balance_factor;else --parent->_balance_factor;if(parent->_balance_factor == 0) break;else if (abs(parent->_balance_factor) == 1) {cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (abs(parent->_balance_factor) == 2) {//需要旋转if (parent->_balance_factor == 2 && cur->_balance_factor == 1) {rotate_left(parent);}else if (parent->_balance_factor == -2 && cur->_balance_factor == -1) {rotate_right(parent);}else if (parent->_balance_factor == -2 && cur->_balance_factor == 1) {rotate_left_right(parent);}else if (parent->_balance_factor == 2 && cur->_balance_factor == -1) {rotate_right_left(parent);}else assert(false);break;}else {assert(false);}}return true;}void inorder() {_inorder(_root);}bool IsBlance() {return _IsBlance(_root);}
private:void _inorder(TreeNode* root) {if (root == nullptr) {return;}_inorder(root->_left);cout << root->_data.first << " ";_inorder(root->_right);}bool _IsBlance(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return true;int diff = Height(root->_right) - Height(root->_left);if (diff != root->_balance_factor) {cout << root->_data.first << "结点的平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(diff) < 2 && _IsBlance(root->_left) && _IsBlance(root->_right);}int Height(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return 0;return max(Height(root->_left),Height(root->_right)) + 1;}void rotate_left(TreeNode* parent) {TreeNode* subR = parent->_right;TreeNode* subRL = subR->_left;TreeNode* pparent = parent->_parent;parent->_right = subRL;if (subRL != nullptr) subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;//解决根结点变换带来的问题if (_root == parent) {_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else {if (pparent->_left == parent) pparent->_left = subR;else pparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}subR->_balance_factor = parent->_balance_factor = 0;}void rotate_right(TreeNode* parent) {TreeNode* subL = parent->_left;TreeNode* subLR = subL->_right;TreeNode* pparent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if (subLR != nullptr) subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent) {_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else {if (pparent->_left == parent) pparent->_left = subL;else pparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}subL->_balance_factor = parent->_balance_factor = 0;}void rotate_left_right(TreeNode* parent) {TreeNode* subL = parent->_left;TreeNode* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_balance_factor;rotate_left(parent->_left);rotate_right(parent);//更新平衡因子subLR->_balance_factor = 0;if (bf == 1) {parent->_balance_factor = 0;subL->_balance_factor = -1;}else if (bf == -1) {parent->_balance_factor = 1;subL->_balance_factor = 0;}else if (bf == 0) {parent->_balance_factor = 0;subL->_balance_factor = 0;}else assert(false);}void rotate_right_left(TreeNode* parent) {TreeNode* subR = parent->_right;TreeNode* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_balance_factor;rotate_right(parent->_right);rotate_left(parent);subRL->_balance_factor = 0;if (bf == 1) {parent->_balance_factor = -1;subR->_balance_factor = 0;}else if (bf == -1) {parent->_balance_factor = 0;subR->_balance_factor = 1;}else if (bf == 0) {parent->_balance_factor = 0;subR->_balance_factor = 0;}else assert(false);}
private:TreeNode* _root = nullptr;
};