文章目录

• • • 1：一元泰勒展开公式
    • 2：二元泰勒展开公式
    • 3：二元函数的黑塞矩阵
    • 4：多元函数的黑塞矩阵
    • • 其他链接

1：一元泰勒展开公式

举例：f(x) = 3x² + 2x + 5 在x=0或x=1处的泰勒展开

当x=0时：

当x=1时：

不论Xk等于多少，最后展开得公式相加都是等于f(x) = 3x² + 2x + 5

2：二元泰勒展开公式

x 和 y在k处的泰勒展开：

简化：

简化：
①
是对 x 求两次导。
②

是先对x求一次导，然后再对y求一次导。
③

是先对y求一次导，然后再对x求一次导。
（其中③ = ②）
④
是对 y 求两次导。

3：二元函数的黑塞矩阵

二元函数点 f(x1,x2)f(x_1,x_2)f(x1​,x2​) 在 X(k)(x1(k),x2(k))X^{(k)}(x_1^{(k)},x_2^{(k)})X(k)(x1(k)​,x2(k)​)处的泰勒展开式为：

其中Δx1Δ x_1Δx1​ = x1x_1x1​ − x1(k)x_1^{(k)}x1(k)​ , Δx2Δ x_2Δx2​ = x2x_2x2​ − x2(k)x_2^{(k)}x2(k)​

即：

（1）：其中

它是f(X)f(X)f(X)在X(k)X^{(k)}X(k)点处的梯度。

（2）：G(X(k))G(X^{(k)})G(X(k))是f(x1,x2)f(x_1,x_2)f(x1​,x2​)在X(k)X^{(k)}X(k)处的黑塞矩阵。它是由函数f(x1,x2)f(x_1,x_2)f(x1​,x2​)在X(k)X^{(k)}X(k)处的二阶偏导数所组成的方阵。

4：多元函数的黑塞矩阵

1：多元函数f(x1,x2,...,xn)f(x_1,x_2,...,x_n)f(x1​,x2​,...,xn​)在点 x(k)x^{(k)}x(k)处的泰勒展开式为：
把泰勒（Taylor）展开式写成矩阵的形式：
其中：

它是f(X)f(X)f(X)在X(k)X^{(k)}X(k)点处的梯度。
（2）：G(X(k))G(X^{(k)})G(X(k))是f(x1,x2,...,xn)f(x_1,x_2,...,x_n)f(x1​,x2​,...,xn​)在X(k)X^{(k)}X(k)处的黑塞矩阵。它是由函数f(x1,x2,...,xn)f(x_1,x_2,...,x_n)f(x1​,x2​,...,xn​)在X(k)X^{(k)}X(k)处的二阶偏导数所组成 n∗nn*nn∗n阶方阵。

2：

举例：

其他链接

黑森矩阵

黑塞矩阵和雅克比矩阵

雅克比矩阵