• 为了最大程度利用非线性功放，需要降低信号PAPR，这要求信号具有恒包络特性
• 信道带宽有限，需要降低信号带外泄露（进而传输失真小），要求信号具有连续相位特性（从而高频成分少）

波形连续和恒包络之间存在矛盾：想要恒包络就会有跳变（波形不连续，频谱扩展）；想要连续波信（连续相位），为了平滑过渡就没有恒包络
下面会看到：

• 错位QPSK（OQPSK）：在QPSK的基础上，基带信号的实部和虚部错位半个符号周期（成形滤波器仍然是升余弦滚降滤波器），从而改善了相位跳变
• 连续相位频移键控CP FSK是一种同时满足相位连续和恒包络的调制方式
• 对于FSK，理论上最小的频率间隔Δf=12Ts\Delta f=\frac{1}{2T_s}Δf=2Ts​1​，得到最小频移键控MSK，获得较高频谱效率
  MSK可以用OQPSK等价实现
• CP FSK和MSK可以结合，即：用方波控制VCO，并且保证输出信号频率间隔为Δf=12Ts\Delta f=\frac{1}{2T_s}Δf=2Ts​1​
  MSK的连续频谱仍有带外泄露问题（对于MSK，频谱不可能只有两根离散谱线，因为MSK是随机信号，不是周期信号，进而连续的频谱也不可能在频率间隔为Δf\Delta fΔf之外突然截断，故真正的带宽大于Δf\Delta fΔf）
• 高斯滤波最小频移键控GMSK：不是直接用方波作为VCO的控制信号，而是方波先经过高斯滤波器，再作为VCO的控制信号，从而改善MSK的带外泄露问题
• 数字预失真DPD出现后，不再那么追求信号恒包络（相对而言频谱效率低），而是关注频谱效率，最终QAM技术重新胜出

非线性功放问题

功率放大器（简称功放），理想的功放能线性放大信号的功率，从而使信号传播更远，即y(t)=kx(t)y(t)=kx(t)y(t)=kx(t)，kkk为放大系数；
而实际中功放是非线性的

我们知道，线性系统有频率保持特性（若输出为正弦，必然输出相同频率的正弦）
而非线性系统(非线性功放)有频谱扩展问题：输入正弦，输出很多本不存在的频率成分）

为避免非线性功放的频谱扩展问题，应该尽量使用功放的线性区域（图中的PLP_LPL​）
这就是说，需要保证功放输入端的信号最大功率不能超过PLP_LPL​

限制输入信号最大功率为PLP_LPL​，那么信号的峰均功率比就很重要了：PAPR=PpeakPavgPAPR=\frac{P_{peak}}{P_{avg}}PAPR=Pavg​Ppeak​​
信号的峰均功率比PAPR越高，则信号对功放的使用效率越高（固定信号最大值，那么如果输入信号PAPR较大，会导致需要压低输入信号的平均功率）；

可见，为提高功放利用率，希望降低信号PAPR，特别的，具有恒包络的信号具有最低的PAPR，因此有时追求信号的恒包络特性

4QAM的恒包络特性讨论：波形连续（相位连续）和恒包络的矛盾

对于4QAM调制得到的射频信号：

• 如果成形滤波器采用矩形脉冲：射频信号恒包络，但是两个符号之间有跳变，导致了带外泄露，频谱非常宽（引入额外高频成分）
  
• 如果成形滤波器采用升余弦滚降滤波器，则频谱限定在一定频段范围，但时域上，信号的跳变被消除，波形更平滑，同时射频信号不再是恒包络的
  

可见对于4QAM，波形连续和恒包络之间存在矛盾：想要恒包络就会有跳变（波形不连续，频谱扩展）；想要连续波信（连续相位），为了平滑过渡就没有恒包络

是否存在同时满足相位连续和恒包络的调制方式呢？这就是下面将介绍的连续相位频移键控CP FSK

连续相位频移键控CP FSK

连续相位频移键控CP FSK（Continuous Phase FSK）原理很简单：用（矩形的）基带脉冲信号控制压控振荡器VCO，从而频率被调制了的FSK信号
注意，VCO的输出信号为：sRF(t)=cos⁡[θ(t)]，其中信号的总相位θ(t)=2πfct+ϕ^(t)=2πfct+K∫−∞tuc(τ)=2πfct+2πh∫−∞tuc(τ)s_{\mathrm{RF}}(t)=\cos [\theta(t)]，\\\begin{aligned}其中信号的总相位\theta(t)&=2 \pi f_{c} t+\hat{\phi}(t)\\ &=2 \pi f_{c} t+K \int_{-\infty}^{t} u_{c}(\tau)\\ &=2 \pi f_{c} t+2\pi h \int_{-\infty}^{t} u_{c}(\tau)\end{aligned}sRF​(t)=cos[θ(t)]，其中信号的总相位θ(t)​=2πfc​t+ϕ^​(t)=2πfc​t+K∫−∞t​uc​(τ)=2πfc​t+2πh∫−∞t​uc​(τ)​

• 输出信号的频率：ω(t)=ddtθ(t)=2πfc+Kuc(t)\omega(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \theta(t)=2 \pi f_{c}+K u_{c}(t)ω(t)=dtd​θ(t)=2πfc​+Kuc​(t)，也就是说输出信号的瞬时角频率由输入uc(t)u_{c}(t)uc​(t)线性控制，实现了FSK
• 输出信号的相位：θ(t)=K∫−∞tuc(τ)\theta(t)=K \int_{-\infty}^{t} u_{c}(\tau)θ(t)=K∫−∞t​uc​(τ)，由于积分的作用，无论uc(t)u_{c}(t)uc​(t)波形如何（即使为跳变的方波），输出信号相位必然连续

其中，从输入信号uc(t)u_{c}(t)uc​(t)和输出信号频率是线性关系，只相差一个系数KKK

• KKK是VCO的灵敏度系数K=4πfdTsK=4 \pi f_{d} T_{s}K=4πfd​Ts​
  其中fdf_dfd​为最大频率偏移（它是FSK的带通信号频谱带宽的一半，即频谱最边缘部分相对于中心频率的偏移）
• 对于CP FSK，我们定义一个参数：调制系数（modulation index）h=2fdTsh=2 f_{d} T_{s}h=2fd​Ts​；
• 灵敏度系数和调制系数的关系：K=4πfdTs=2πhK=4 \pi f_{d} T_{s}=2\pi hK=4πfd​Ts​=2πh

例如，用矩形的基带脉冲信号控制VCO，输出的CP FSK信号为：sRF(t)=cos⁡[2πfct+K∫−∞td(τ)dτ]=cos⁡[2πfct+4πfdTs∫−∞td(τ)dτ]=cos⁡[2πfct+2πh∫−∞td(τ)dτ]]s_{\mathrm{RF}}(t)=\cos \left[2 \pi f_{c} t+K \int_{-\infty}^{t} d(\tau) \mathrm{d} \tau\right] \\ \quad=\cos \left[2 \pi f_{c} t+4 \pi f_{d} T_{s} \int_{-\infty}^{t} d(\tau) \mathrm{d} \tau\right] \\ \quad=\cos \left[2 \pi f_{c} t+2 \pi h \int_{-\infty}^{t}d(\tau)\mathrm{d} \tau\right]]sRF​(t)=cos[2πfc​t+K∫−∞t​d(τ)dτ]=cos[2πfc​t+4πfd​Ts​∫−∞t​d(τ)dτ]=cos[2πfc​t+2πh∫−∞t​d(τ)dτ]]

如果信息比特经过矩形脉冲成形，则上式中基带信号/控制电压uc(t)=d(t)=∑nIng(τ−nTs)u_c(t)=d(t)=\sum_{n} I_{n} g\left(\tau-n T_{s}\right)uc​(t)=d(t)=∑n​In​g(τ−nTs​)，则有CP FSK信号：sRF(t)=cos⁡[2πfct+2πh∫−∞t∑nIng(τ−nTs)dτ]s_{\mathrm{RF}}(t) \quad=\cos \left[2 \pi f_{c} t+2 \pi h \int_{-\infty}^{t} \sum_{n} I_{n} g\left(\tau-n T_{s}\right) \mathrm{d} \tau\right]sRF​(t)=cos[2πfc​t+2πh∫−∞t​n∑​In​g(τ−nTs​)dτ]CP FSK信号波形如图：

与之对比，普通的FSK（非连续相位FSK）则在两个符号之间有跳变，频谱出现高频成分，即带外泄露

最小频移键控MSK

对于FSK而言，不同符号可以对应不同的频率，并且频率间隔越小，能够实现的频谱效率越高；

• 然而FSK的频率间隔不能无限小，下面将证明，实现正交的两个余弦信号，其频率间隔最小为Δf=12Ts\Delta f=\frac{1}{2T_s}Δf=2Ts​1​（注意，不是1Ts\frac{1}{T_s}Ts​1​，而是最小可以做到其一半）
• 最小频移键控MSK：使用了（理论上最小的）频率间隔Δf=12Ts\Delta f=\frac{1}{2T_s}Δf=2Ts​1​的FSK
• 若考虑2FSK，显然仅有的两个频率就在中心频率的两侧，故有频率间隔Δf=2fd\Delta f=2f_dΔf=2fd​（两倍最大频率偏移）
  结合上面的CP FSK的调制指数概念，从而有：MSK的调制指数为1/2（h=2fdTs=ΔfTs=12TsTs=12h=2 f_{d} T_{s}=\Delta f T_{s}=\frac{1}{2T_s} T_{s}=\frac{1}{2}h=2fd​Ts​=ΔfTs​=2Ts​1​Ts​=21​）

MSK可以和CP FSK结合，只要CP FSK采用的频率间隔为（理论上最小的）Δf=12Ts\Delta f=\frac{1}{2T_s}Δf=2Ts​1​即可，也就是说在CP FSK的基础上，调节VCO的灵敏度KKK使得调制指数h=1/2h=1/2h=1/2即可

证明：实现正交的两个余弦信号，其频率间隔最小为Δf=12Ts\Delta f=\frac{1}{2T_s}Δf=2Ts​1​
将两个FSK已调信号（不同频率的余弦信号）做内积，若结果为0则两者正交，说明可以区分出这两个频率成分
ρkm=⟨ℜ[sm(t)],ℜ[sk(t)]⟩=∫0Tscos⁡(2πkΔft)cos⁡(2πmΔft)dt=12∫0Tscos⁡[2π(m−k)Δft]+cos⁡[2π(m+k)Δft]dt=12(sin⁡[2π(m−k)ΔfTs]2π(m−k)Δf+sin⁡[2π(m+k)ΔfTs]2π(m+k)Δf)\begin{aligned}\rho_{k m} &=\left\langle\Re\left[s_{m}(t)\right], \Re\left[s_{k}(t)\right]\right\rangle \\ &=\int_{0}^{T_{s}} \cos (2 \pi k \Delta f t) \cos (2 \pi m \Delta f t) \mathrm{d} t \\ &=\frac{1}{2} \int_{0}^{T_{s}} \cos [2 \pi(m-k) \Delta f t]+\cos [2 \pi(m+k) \Delta f t] \mathrm{d} t \\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin \left[2 \pi(m-k) \Delta f T_{s}\right]}{2 \pi(m-k) \Delta f}+\frac{\sin \left[2 \pi(m+k) \Delta f T_{s}\right]}{2 \pi(m+k) \Delta f}\right)\end{aligned}ρkm​​=⟨ℜ[sm​(t)],ℜ[sk​(t)]⟩=∫0Ts​​cos(2πkΔft)cos(2πmΔft)dt=21​∫0Ts​​cos[2π(m−k)Δft]+cos[2π(m+k)Δft]dt=21​(2π(m−k)Δfsin[2π(m−k)ΔfTs​]​+2π(m+k)Δfsin[2π(m+k)ΔfTs​]​)​上式中，要使得两个相邻频率（m−k=1m-k=1m−k=1）的余弦信号正交，即ρkm=0\rho_{k m}=0ρkm​=0，所需要的最小频率间隔就是Δf=12Ts\Delta f=\frac{1}{2T_s}Δf=2Ts​1​

例如，给定了符号周期TsT_sTs​，满足Δf=12Ts\Delta f=\frac{1}{2T_s}Δf=2Ts​1​的互相正交的余弦信号如下（m=0∼4m=0\sim 4m=0∼4）

高斯滤波最小频移键控GMSK

MSK和CP FSK结合使用，即：用方波控制VCO，并且保证输出信号频率间隔为Δf=12Ts\Delta f=\frac{1}{2T_s}Δf=2Ts​1​

然而这样做仍不完美：虽然VCO输出信号相位连续，且频率间隔最小，但是MSK的连续频谱仍有带外泄露问题（对于MSK，频谱不可能只有两根离散谱线，因为MSK是随机信号，不是周期信号，进而连续的频谱也不可能在频率间隔为Δf\Delta fΔf之外突然截断，连续谱一定有过渡，因此真正的带宽大于Δf\Delta fΔf，即频谱效率）

• 高斯滤波最小频移键控GMSK：不是直接用方波作为VCO的控制信号，而是方波先经过高斯滤波器，再作为VCO的控制信号
  这样，高斯滤波器减小了VCO控制电压的高频成分，从而改善了MSK的带外泄露问题

高斯滤波器：h(t)=Ke−t22σ2,H(ω)=Kσeω22/σ2h(t) =K \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2 \sigma^{2}}},\quad H(\omega) =K \sigma \mathrm{e}^{\frac{\omega^{2}}{2 / \sigma^{2}}}h(t)=Ke−2σ2t2​,H(ω)=Kσe2/σ2ω2​
其中，高斯滤波器的带宽由参数σ\sigmaσ决定，σ\sigmaσ越大带宽越小；
实际中常用的高斯滤波器的指标是BTsBT_sBTs​，其中BBB是高斯滤波器的-3dB带宽
GSM中，就采用了BTs=0.3BT_s=0.3BTs​=0.3的GMSK调制

• MSK方案下，成形滤波器为矩阵脉冲Rect(t)Rect(t)Rect(t)，脉冲成形后得到矩形脉冲d(t)d(t)d(t)，将其作为VCO控制信号：uc(t)=d(t)=∑nInRect⁡(t−nTs)u_c(t)=d(t)=\sum_{n} I_{n} \operatorname{Rect}\left(t-n T_{s}\right)uc​(t)=d(t)=∑n​In​Rect(t−nTs​)
• GMSK带来了更好的频谱特性（带外泄露少），与此同时误码率增高，需要综合考虑与权衡这对矛盾

GMSK方案下，矩形脉冲d(t)d(t)d(t)+高斯滤波器的卷积结果，作为VCO控制信号：uc(t)=d(t)∗h(t)=∑InRect⁡(t−nTs)∗h(t)=∑nIng(t−nTs)u_{c}(t) =d(t) * h(t)=\sum I_{n} \operatorname{Rect}\left(t-n T_{s}\right) * h(t)=\sum_{n} I_{n} g\left(t-n T_{s}\right)uc​(t)=d(t)∗h(t)=∑In​Rect(t−nTs​)∗h(t)=n∑​In​g(t−nTs​)其中，定义g(t)=Rect⁡(t)∗h(t)g(t) =\operatorname{Rect}(t) * h(t)g(t)=Rect(t)∗h(t)，即GMSK总体上等效的成形滤波器

这就是说，GMSK方案下的基带信号是uc(t)=∑nIng(t−nTs)u_{c}(t) =\sum_{n} I_{n} g\left(t-n T_{s}\right)uc​(t)=∑n​In​g(t−nTs​)，GMSK总体上等效的成形滤波器g(t)g(t)g(t)=矩形脉冲d(t)d(t)d(t) 与 高斯滤波器h(t)h(t)h(t) 卷积
由于GMSK的成形滤波器g(t)g(t)g(t)不满足Nyquist准则，引入码间串扰，从而GMSK误码性能比MSK稍差

MSK的OQPSK等效实现

• 错位QPSK（OQPSK）：在QPSK的基础上，基带信号的实部和虚部错位半个符号周期（成形滤波器仍然是升余弦滚降滤波器）
  OQPSK的优势是，避免了实部和虚部同时过零点的情况，从而防止已调信号出现幅度很小的包络（如图中−1.5Ts-1.5T_s−1.5Ts​处），从而PAPR特性更好，有利于高效使用非线性功放

上面的OQPSK，使用升余弦滚降滤波器来进行脉冲成形，然而信号并非恒包络；
如果成形滤波器换为一个特殊的半正弦成形函数，则此时OQPSK等价于MSK
下图中，实线对应半正弦成形函数，虚线对应升余弦滚降滤波器

• 使用半正弦成形的OQPSK，等价于MSK调制
  从直观上，半正弦成形后，基带信号取值平滑趋于零，从而基带信号没有跳变（证明略）
  

线性功放与QAM的重新崛起

GMSK在2G的GSM中获得应用，然而在3G和4G中又是PSK和QAM一统江山，这与线性功放技术有关

• 线性功放技术：核心就是数字预失真DPD（Digital Pre-Distortion）
  数字预失真DPD就是对非线性功放的“逆向还原”，最终整个功放表现为线性的，DPD大幅扩大了功放的线性范围，在3G后的系统中广泛应用
  

• 产生线性功放技术后，由于功放的线性范围扩大，对信号的PAPR指标要求没有GSM中那么严格，也就是说不再一味的追求信号的恒包络

• （毕竟恒包络也有代价：一方面OQPSK中的半正弦成形滤波不是严格带限的，造成带外泄露；另一方面恒包络意味着无法通过幅度传递信息，降低了频谱效率，然而4G更追求频谱效率）

• 最终QAM（包括QPSK）在3G和4G中胜出

有意思的是，Offset QAM技术并未胜出
虽然Offset QAM相对于QAM有一定优势，即可以如OQPSK那样避免零包络，从而降低PAPR；
然而Offset QAM的优势不明显，尤其是16QAM以上时信号零包络概率很小，还引入一定复杂度；
而QAM简单、没有明显技术劣势，从而胜出