目录

• 前言
• • • • 解决hash冲突
      • 并不真正地使用%Q\%Q%Q
• 字符串哈希 #1
• • Code
• 洛谷 P3370 - 字符串哈希 #2
• • Code
• 总结

前言

字符串哈希号称是学了后再遇到字符串题就可以丢掉kmp的算法哈哈（当然bushi）。

它是一种将字符串映射成数字的算法，如何映射的呢？
利用的就是hash，其方式是将一个给定的字符串转成 PPP进制的数字，即对字符串每个位置iii上的字符赋予一个权值PiP^iPi（这个权值从左到右依次递减），然后用一个数字取替该字符（一般来讲用的是字符对应ASCII码值）并乘上权值后相加起来，可以预想到此时的值会非常地庞大，所以再给它mod上一个限定值QQQ。
用公式表示就是：

字符串 —> s1s2s3s4......sn−1sns_1s_2s_3s_4......s_{n-1}s_ns1​s2​s3​s4​......sn−1​sn​。
哈希值—>(s1×Pn−1+s2×Pn−2+s3×Pn−3+......sn−1×P1+sn×P0)%Q(s_1×P^{n-1}+s_2×P^{n-2}+s_3×P^{n-3}+......s_{n-1}×P^1+s_n×P^0) \% Q(s1​×Pn−1+s2​×Pn−2+s3​×Pn−3+......sn−1​×P1+sn​×P0)%Q。

如果让h[i]存字符串s[1...i]s[1...i]s[1...i]的hash值，也即整个字符串的hash值存在h[n]里面；
代入上述公式有：

h[1]=s[1]h[1] = s[1]h[1]=s[1],
h[2]=s[1]×P+s[2]h[2] = s[1]×P+s[2]h[2]=s[1]×P+s[2]
h[3]=s[1]×P2+s[2]×P+s[3]h[3] = s[1]×P^2+s[2]×P+s[3]h[3]=s[1]×P2+s[2]×P+s[3]
h[4]=s[1]×P3+s[2]×P2+s[3]×P+s[4]h[4] = s[1]×P^3+s[2]×P^2+s[3]×P+s[4]h[4]=s[1]×P3+s[2]×P2+s[3]×P+s[4]
… …
(先不显示%Q\%Q%Q)
由此，就可以得到一个递推式：h[i]=h[i−1]×P+s[i]，i∈[1,n]h[i] = h[i-1]×P+s[i]，i∈[1,n]h[i]=h[i−1]×P+s[i]，i∈[1,n]。

那么观察一下就可以发现递推式有点点像一个前缀和公式，其实也就说明了可以从111到nnn递推地求出个各个h[]值，不仅如此，进一步拓展还可以再求字符串某个子串的hash值：

例如，子串s[2..4]s[2..4]s[2..4]的hash值=s[2]×P2+s[3]×P+s[4]s[2]×P^2+s[3]×P+s[4]s[2]×P2+s[3]×P+s[4]，同时，也＝h[4]−h[2−1]×P4−2+1h[4]-h[2 -1]×P^{4-2+1}h[4]−h[2−1]×P4−2+1，因此还得到一个区间和的公式：h[l,r]=h[r]−h[l−1]×Pr−l+1h[l,r]=h[r]-h[l-1]×P^{r-l+1}h[l,r]=h[r]−h[l−1]×Pr−l+1。

解决hash冲突

有了映射，那么有个值得注意的问题就是如何解决hash冲突（这里是hash值相等的情况）。

• 首先，每个代表字符的数字不能为0，举个例子，若用0代替字符'A'，那么对于字符串"A"、"AAA"、"AAAAAA"来讲，它们的hash值均为0，这就引起冲突大了！所以要以非0的数字代替字符以区别开。
• 由经验之谈，PPP一般设置成131，QQQ设置成2642^{64}264时，各种字符串映射出的hash值不相等的概率为99.99%99.99\%99.99%（据说），那么此时就可以近似地认为不产生冲突。

有了上述定义后，思考一个问题，如何比较两个字符串是否相等，那就简单了，先将它们都进行hash映射，然后对其hash值进行比较是否相等作为依据就可以了，由于是整数上的比较，那么该操作的复杂度仅仅只有O(1)O(1)O(1)。

并不真正地使用%Q\%Q%Q

一般来讲，用C++写的话并不需要在每次计算hash值时%Q\%Q%Q，转而可以考虑使用unsigned long long(ULL)数据类型来存，用这种数据类型有啥好处呢？一是存的数值比较大，适合拿来映射大数据量的字符串，二是当一个ULL的数溢出时，编译器自动会将这个数进行%264\%2^{64}%264处理，这正好是跟QQQ设置成2642^{64}264时期望吻合的啊。

有关更多字符串哈希的数学解释以及详细定义还可参考：字符串哈希 - OI Wiki。

字符串哈希 #1

给定一个长度为 n 的字符串，再给定 mmm 个询问，每个询问包含四个整数 l1,r1,l2,r2l_1,r_1,l_2,r_2l1​,r1​,l2​,r2​，请你判断 [l1,r1][l_1,r_1][l1​,r1​] 和 [l2,r2][l_2,r_2][l2​,r2​] 这两个区间所包含的字符串子串是否完全相同。

字符串中只包含大小写英文字母和数字。

输入格式
第一行包含整数 nnn 和 mmm，表示字符串长度和询问次数。

第二行包含一个长度为 nnn 的字符串，字符串中只包含大小写英文字母和数字。

接下来 mmm 行，每行包含四个整数 l1,r1,l2,r2l_1,r_1,l_2,r_2l1​,r1​,l2​,r2​，表示一次询问所涉及的两个区间。

注意，字符串的位置从 111 开始编号。

输出格式
对于每个询问输出一个结果，如果两个字符串子串完全相同则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤1051≤n,m≤10^51≤n,m≤105

输入样例：

8 3
aabbaabb
1 3 5 7
1 3 6 8
1 2 1 2

输出样例：

Yes
No
Yes

Code

#include 
#include 
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;const int N = 1e5 + 10, P = 131;ULL h[N];
ULL p[N];       //p[i]其实就是存P的i次方
char s[N];
int n, m;ULL get(int l, int r){      //子串s[l...r]的hash值return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}int main(){ios :: sync_with_stdio(false);cin >> n >> m;cin >> s + 1;p[0] = 1;//预处理hash值for(int i = 1;i <= n;i ++){h[i] = h[i - 1] * P + s[i];p[i] = p[i - 1] * P;}while(m --){int l1, r1, l2, r2;cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;int h1 = get(l1, r1), h2 = get(l2, r2);if(h1 == h2)        cout << "Yes" << endl;else                cout << "No" << endl;}return 0;
}

洛谷 P3370 - 字符串哈希 #2

如题，给定 NNN 个字符串（第 iii 个字符串长度为 MiM_iMi​，字符串内包含数字、大小写字母，大小写敏感），请求出 NNN 个字符串中共有多少个不同的字符串。

友情提醒：如果真的想好好练习哈希的话，请自觉，否则请右转PJ试炼场:)

输入格式

第一行包含一个整数 NNN，为字符串的个数。

接下来 NNN 行每行包含一个字符串，为所提供的字符串。

输出格式

输出包含一行，包含一个整数，为不同的字符串个数。

样例 #1

样例输入 #1

5
abc
aaaa
abc
abcc
12345

样例输出 #1

4

提示

对于 30%30\%30% 的数据：N≤10N\leq 10N≤10，Mi≈6M_i≈6Mi​≈6，Mmax≤15Mmax\leq 15Mmax≤15。

对于 70%70\%70% 的数据：N≤1000N\leq 1000N≤1000，Mi≈100M_i≈100Mi​≈100，Mmax≤150Mmax\leq 150Mmax≤150。

对于 100%100\%100% 的数据：N≤10000N\leq 10000N≤10000，Mi≈1000M_i≈1000Mi​≈1000，Mmax≤1500Mmax\leq 1500Mmax≤1500。

样例说明：

样例中第一个字符串(abc)和第三个字符串(abc)是一样的，所以所提供字符串的集合为{aaaa,abc,abcc,12345}，故共计4个不同的字符串。

Code

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;const int N = 1e5 + 10, P = 131;ULL hs[N];      //存字符串的hash值
int n;
char s[1510];ULL get(){int len = strlen(s + 1);int h = 0, p = 1;for(int i = 1;i <= len;i ++){h = h * p + s[i];p *= P;}return h;
}int main(){ios :: sync_with_stdio(false);cin >> n;for(int i = 0;i < n;i ++){cin >> s + 1;hs[i] = get();}sort(hs, hs + n);int ans = 1;for(int i = 1;i < n;i ++){if(hs[i] != hs[i - 1])      ans ++;}cout << ans << endl;return 0;
}

总结

可以看到，经过一遍hash值的预处理后，给后续子串之间的查询操作带来了极大的方便，让原本繁琐的字符串匹配转变成了只是数字上的比较。