实验九 数据微积分与方程数值求解

1.1实验目的

1.2实验内容

1.3流程图

1.4程序清单

1.5运行结果及分析

1.6实验的收获与体会

1.1实验目的

1，掌握求数值导数和数值积分的方法；

2，掌握代数方程数组求解的方法；

3，掌握多常微分方程数值求解的方法。

1.2实验内容

1.3流程图

1.4程序清单

%%

clc

clear

%% 1

clear;clc

x=1;i=1;

f=inline('det([x x.^2 x.^3;1+0*x 2*x 3*x.*x;0*x 2+0*x 6*x])');

while x<=3.01

    g(i)=f(x);

    i=i+1;

    x=x+0.01;

end

g;

dx=diff(g)/0.01;

f1=dx(1)

f2=dx(101)                                    

f3=dx(length(g)-1)

%% 2

clear

g1=inline('sqrt(cos(t.^2)+4*(sin(2.*t)).^2+1)');

g2=inline('log(1+x)./(1+x.^2)');

I1=quadl(g1,0,2*pi);

I2=quadl(g2,0,1);

%% 3

clear

A=[6 5 -2 5;

    9 -1 4 -1;

    3 4 2 -2;

    3 -9  0 2];

b=[-4 13 1 11]';

x(:,1)=A\b;

[L,U]=lu(A);

x(:,2)=U\(L\b);

[Q,R]=qr(A);

x(:,3)=R\(Q\b);

%% 4

clear

A=[2 7 3 1;

    3 5 2 2;

    9 4 1 7];

b=[6 4 2]';

[x,y]= line_solution(A,b)

%% 5

clear

f=inline('3*x+sin(x)-exp(x)');

root_near=fzero(f,1.5);

X=fsolve('myfun',[1,1,1],optimset('Display','off'))

%% 6

clear

f=inline('(x^3+cos(x)+x*log10(x))/exp(x)');

[x,fval]=fminbnd(f,0,1);

[U,fmin]=fminsearch('fxy',[0,0]);

%% 7

clear

[x,y]=ode45('sys',[eps,10000],[eps,eps])

plot(x,y(:,1))

%% 8

clear

[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]);

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+');

相关函数：

function f = fj( x )

%UNTITLED3 此处显示有关此函数的摘要

%   此处显示详细说明

f=[x x^2 x^3;1 2*x 3*x^2; 0 2 6*x];

end

function [S_H, S_P] = line_solution(A,b)

% 输入参数A：系数矩阵

% 输入参数b：Ax=b的常数项列向量b

% S_H：齐次线性方程组的基础解系

% S_P：非齐次线性方程组的特解

if size(A,1) ~= length(b)   %size(A,1)求矩阵的行数

    error('输入数据错误，请重新输入！');

    return;

else

    B = [A,b];  %增广矩阵

    rank_A = rank(A);   %求系数矩阵的秩

    rank_B = rank(B);   %求增广矩阵的秩

    if rank_A ~= rank_B %无解情况

        disp('线性方程组无解！');

        S_H = [];

        S_P = [];

    else if rank_B == size(A,2) %若增广矩阵的秩 = 未知量个数

            %size(A,2)求矩阵的列数，相当于length(A)

            disp('线性方程组有唯一解！');

            S_P = A\b;  %求唯一解

            S_H = [];

        else

            disp('线性方程组有无穷解！');

            S_H = null(A,'r');%求出齐次方程组的基础解系

            S_P = A\b;  %求非齐次方程组的特解

        end

    end

end

function F = myfun( X )

%UNTITLED6 此处显示有关此函数的摘要

%   此处显示详细说明

x=X(1);y=X(2);z=X(3);

F(1)=sin(x)+y^2+log(z);

F(2)=3*x+z^y-z^3+1;

F(3)=x+y+z-5;

end

function f = fxy( u )

%UNTITLED7 此处显示有关此函数的摘要

%   此处显示详细说明

x=u(1);y=u(2);

f=2*x^3+4*x*y^3-10*x*y+y^2;

end

function xdot =sys( x,y )

%UNTITLED8 此处显示有关此函数的摘要

%   此处显示详细说明

xdot=[y(2);(5*y(2)-y(1))/x];

end

function dy = rigid( t,y)

%UNTITLED10 此处显示有关此函数的摘要

%   此处显示详细说明

dy=zeros(3,1);

dy(1)=y(2)*y(3);

dy(2)=y(1)*y(3);

dy(3)=-0.51*y(2)*y(1);

end

1.5运行结果及分析

1． 

2.

3．

4.x的列向量乘以一个常数加上y就是通解。

5．

6.

7.可以看出结果发散。

8.

1.6实验的收获与体会

本次实验过后，我掌握了求数值导数和数值积分的方法和代数方程数组求解的方法，同时也掌握多常微分方程数值求解的方法。

数据微积分与方程数值求解是特别有用的工具。微积分的数值解法可以满足工程领域的需要，方程数值求解也可以满足一些需要。而往往工程问题都是不容易直接得出解析解的，那么这种情况，就需要使用数值解法来进行计算。虽然说有误差，但是这些误差都是实际践行中可以被接受和使用的。各种方法在matlab里面就只表现为一个函数，使用起来非常方便快捷。一些数值求解的过程，往往需要大规模的迭代计算，当然也可能因为结果发散，而无法迭代出一个收敛的结果，这也是很正常的一件事情，可能与系统结构相关。

总之，经过这次实验收获很大，对学习帮助很大。

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