目录

完善保密性

  假设

  定义

  含义

  计算问题

计算问题举例

完善保密性的相关定理

完善保密性

假设

1. 一个密码体制(M,C,K,E,D)，一个特定的密钥k∈K 只用于一次加密。
2. 明文空间存在一个概率分布，明文元素定义了一个随机变量， 对x∈M，Pr[x]表示明文x发生的先验概率。
3. 以某种固定的概率分布选择密钥，通常随机等概选取，对k∈K，Pr[k]表示密钥k发生的概率。
4. 密钥和明文是统计独立的随机变量

定义

一个密码体制具有完善保密性，如果对于任意的x∈M和y∈C，都有Pr[x|y]=Pr[x]

即明文x的后验概率等于明文x的先验概率。

含义

1. 明文x和对应密文y具有统计独立关系
2. 明密文之间的互信息为0，即I(x;y)=0
3. 攻击者分析y的统计规律无法推导出x

计算问题

1. 获得明文分布，即可得到每个明文元素的先验概率Pr[X=x]
2. 计算所有Pr[X=x|Y=y]的条件概率。如何计算Pr[X=x|Y=y]？利用贝叶斯公式
3. 如果两者相等则可证明具有完善保密性

计算问题举例

已知某密码体制(M,C,K,E,D)定义如下

M={a, b} C={1, 2, 3, 4} K={k1,k2,k3}

加密函数定义为

• ek1(a)=1; ek2(a)=2; ek3(a)=3

• ek1(b)=2; ek2(b)=3; ek3(b)=4

假设

•明文的先验概率分布为：Pr[a]=1/4; Pr[b]=3/4

•密钥空间的概率分布为：Pr[k1]=1/2; Pr[k2]=Pr[k3]=1/4

试分析该密码系统是否具备完善保密性？？？

我们根据题意，得到如下加密矩阵

要分析该密码系统的完善保密性

就是要判断Pr[X=x]是否与Pr[X=x|Y=y]相等

我们现在已知

Pr[a]=1/4; Pr[b]=3/4

Pr[k1]=1/2; Pr[k2]=Pr[k3]=1/4

关键是要求Pr[X=x|Y=y]。我们需要使用贝叶斯公式

根据贝叶斯公式，我们现在需要求Pr[Y=y]和Pr[Y=y|X=x]

我们先来求Pr[Y=y]。观察加密矩阵的黄色区域，我们得知y∈{1，2，3，4}

Pr[Y=y]显然由x和k的概率共同决定

• Pr[1] = Pr[k1]Pr[a] = 1/8
• Pr[2] = Pr[k2]Pr[a] + Pr[k1]Pr[b] =1/16+3/8=7/16
• Pr[3] = Pr[k3]Pr[a] + Pr[k2]Pr[b] =1/16+3/16=1/4
• Pr[4] = Pr[k3]Pr[b] = 3/16

然后我们计算Pr[Y=y|X=x]。

Pr[Y=y|X=x]显然只由k的概率决定

• Pr[1|a] = Pr[k1] = 1/2
• Pr[2|a] = Pr[k2] = 1/4
• Pr[3|a] = Pr[k3] = 1/4
• Pr[4|a] = 0
• Pr[1|b] = 0
• Pr[2|b] = Pr[k1] = 1/2
• Pr[3|b] = Pr[k2] = 1/4
• Pr[4|b] = Pr[k3] = 1/4

得到了Pr[Y=y]和Pr[Y=y|X=x]，而我们又已知Pr[X=x]

根据贝叶斯公式，我们得到Pr[X=x|Y=y]=Pr[X=x]*Pr[Y=y|X=x]/Pr[Y=y]

• Pr[a|1] = Pr[a]Pr[1|a]/Pr[1]=1
• Pr[a|2] = Pr[a]Pr[2|a]/Pr[2]=1/7
• Pr[a|3] = Pr[a]Pr[3|a]/Pr[3] = 1/4
• Pr[a|4] = Pr[a]Pr[4|a]/Pr[4] = 0
• Pr[b|1] = Pr[b]Pr[1|b]/Pr[1]=0
• Pr[b|2] = Pr[b]Pr[2|b]/Pr[2] = 6/7
• Pr[b|3] = Pr[b]Pr[3|b]/Pr[3] = 3/4
• Pr[b|4] = Pr[b]Pr[4|b]/Pr[4] = 1

我们知道Pr[a]=1/4; Pr[b]=3/4，因此

• Pr[a|3] = Pr[a] = 1/4
• Pr[b|3] = Pr[b] = 3/4

所以，即密文为3时满足完善保密性，其他密文不满足完善保密性

完善保密性的相关定理

• 假设移位密码的26个密钥以相同概率随机使用，则对于任意的明文概率分布，移位密码具有完善保密性。即当随机使用不同的密钥逐字符加密时，移位密码具有完善保密性
• 完善保密性的条件Pr[x|y]=Pr[x]，等价于Pr[y|x]=Pr[y]。
• 可限定对任意y∈C，Pr[y]>0。
• |K|≥|C|≥|M|。下面解释一下。由于加密函数是明文到密文的单射，因此密文空间≥明文空间，即|C|≥|M|
• 假设密码体制(M,C,K,E,D)满足|K|=|C|=|M|。这个密码体制是完善保密的，当且仅当每个密钥被使用的概率都是1/|K|，并且对于任意的x∈M和y∈C，存在唯一的密钥k，使得Ek(x)=y