通常，求逆矩阵有两种方法：
方法一：

方法二：

但是，对于特殊矩阵，如:

1、二阶矩阵

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}A=[ac​bd​]，其逆矩阵 A−1=1ad−bc[d−b−ca]A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}A−1=ad−bc1​[d−c​−ba​]

2、分块矩阵

分块矩阵在主对角位置，直接对分块矩阵取逆矩阵：

A=[XY]A = \begin{bmatrix} X & \\ & Y \end{bmatrix}A=[X​Y​]，其逆矩阵 A−1=[X−1Y−1]A^{-1}=\begin{bmatrix} X^{-1} & \\ & Y^{-1} \end{bmatrix}A−1=[X−1​Y−1​]

分块矩阵在副对角位置，副对调，再取逆：

A=[XY]A = \begin{bmatrix} & X \\ Y & \end{bmatrix}A=[Y​X​]，其逆矩阵 A−1=[Y−1X−1]A^{-1}=\begin{bmatrix} & Y^{-1}\\ X^{-1} & \end{bmatrix}A−1=[X−1​Y−1​]

分块矩阵为右上三角形状，首先主对角直接取逆，然后再对右上角子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

A=[XWY]A = \begin{bmatrix} X & W\\ & Y \end{bmatrix}A=[X​WY​]，其逆矩阵 A−1=[X−1−X−1WY−1Y−1]A^{-1}=\begin{bmatrix} X^{-1} & -X^{-1}WY^{-1}\\ & Y^{-1} \end{bmatrix}A−1=[X−1​−X−1WY−1Y−1​]

同理，对于左下三角形状，首先主对角直接取逆，然后再对左下角子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

A=[XWY]A = \begin{bmatrix} X & \\ W & Y \end{bmatrix}A=[XW​Y​]，其逆矩阵 A−1=[X−1−Y−1WX−1Y−1]A^{-1}=\begin{bmatrix} X^{-1} & \\ -Y^{-1}WX^{-1} & Y^{-1} \end{bmatrix}A−1=[X−1−Y−1WX−1​Y−1​]

它们相同之处，都是分块三角矩阵占据主对角位置。

分块矩阵为左上三角形状，首先副对调，再取逆，然后将左上角子矩阵换到右下角，最后再对该子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

A=[WXY]A = \begin{bmatrix} W & X \\ Y & \end{bmatrix}A=[WY​X​]，其逆矩阵 A−1=[Y−1X−1−X−1WY−1]A^{-1}=\begin{bmatrix} & Y^{-1}\\ X^{-1} & -X^{-1}WY^{-1} \end{bmatrix}A−1=[X−1​Y−1−X−1WY−1​]

同理，对于右下三角形状，首先副对调，再取逆，然后将右下角子矩阵换到左上角，最后再对该子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

A=[XYW]A = \begin{bmatrix} & X \\ Y & W \end{bmatrix}A=[Y​XW​]，其逆矩阵 A−1=[−Y−1WX−1Y−1X−1]A^{-1}=\begin{bmatrix} -Y^{-1}WX^{-1} & Y^{-1}\\ X^{-1} & \end{bmatrix}A−1=[−Y−1WX−1X−1​Y−1​]

它们相同之处，都是分块三角矩阵占据副对角位置。

综上，对于形状是上、下三角的分块矩阵求逆，如果分块子矩阵占据主对角位置，不需要对调位置；如果分块子矩阵占据副对角位置，都需要对调位置。