基础解系

基础解系的概念是针对方程而言的；齐次线性方程组的解集的最大无关组称为齐次线性方程的基础解系；要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系。
【例】

特征向量

特征向量和特征值满足关系式 Aα=λαA\alpha =\lambda \alphaAα=λα；特征向量是相对于矩阵（方阵）而言的，一个方程组可以提取它的系数产生出一个矩阵，于是求解特征向量与求解系数矩阵非常类似。

【2019年数二】已知A，B相似，求可逆矩阵P，使得 P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B
A=[−2−2123−200−2]A=\begin{bmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2\\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}A=⎣⎡​−220​−230​1−2−2​⎦⎤​

B=[2100−1000−2]B=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}B=⎣⎡​200​1−10​00−2​⎦⎤​

【分析】A，B相似，特征值相同，求得 λ1=−2\lambda _{1}=-2λ1​=−2，λ2=−1\lambda _{2}=-1λ2​=−1，λ3=2\lambda _{3}=2λ3​=2 (特征值的求解过程省略，非本文章讲解的重点){\color{Orange} (特征值的求解过程省略，非本文章讲解的重点) }(特征值的求解过程省略，非本文章讲解的重点)

注：这里其实只要求出基础解系就好，为了讲解特征向量的求法，顺带写出了特征向量，即 k1ξ1k_{1}\xi _{1}k1​ξ1​；
另外，在化行最简的时候，书上面一般是从往左上角爬楼梯的行最简，有时候也可以化为往右上角爬楼梯的行最简（姑且称为「左撇子行最简」），同样也方便得到基础解系；

注：在化行最简时，可以直接将一行写为0，因为我们是通过∣λE−A∣\left | \lambda E-A \right |∣λE−A∣求得的λ\lambdaλ，再将λ\lambdaλ带入之后得到的矩阵必然是不可逆矩阵，里面的行线性相关，即就是对应的方程组中存在多余方程，因此选数字复杂的行直接写为0，可以简化计算过程，下同

熟悉以上过程后，先将矩阵化为行最简，然后直接将行最简不是1的那一列对应的未知数令为1，得到其余的未知数的值，进而写出对应的基础解系；这也是多数题目的参考答案给出的简化后的写法，很多学生一开始看不懂。

同理，分别计算矩阵B的特征值λ1=−2\lambda _{1}=-2λ1​=−2，λ2=−1\lambda _{2}=-1λ2​=−1，λ3=2\lambda _{3}=2λ3​=2 对应的特征方程的基础解系：

由于A、B相似，于是有：


这里P可逆，为题目所求的可逆矩阵，且P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B

传送门

求可逆矩阵可参考链接: 线代——求逆矩阵的快捷方法