文章目录

• • 一、试除法求n的所有约数
  • 二、约数个数
  • 三、约数之和
  • 四、最大公约数（欧几里得算法/辗转相除法）

一、试除法求n的所有约数

vector getDivisors(int n) {vector ans;for (int i = 2; i <= n / i; i++) {if (n % i == 0) {ans.push_back(i);if (i != n / i) {ans.push_back(n / i); // n == n/i，只需要存一个}}}return ans;
}

时间复杂度：O(n)O(\sqrt n)O(n​)

二、约数个数

约数和质因子并不是一个意思，但每个约数可以表示成质因子的乘积

算数基本定理：n=p1c1∗p2c2∗...∗pkckn=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...*p_k^{c_k}n=p1c1​​∗p2c2​​∗...∗pkck​​的约数个数为：(c1+1)(c2+1)…(ck+1)(c_1+1)(c_2+1)…(c_k+1)(c1​+1)(c2​+1)…(ck​+1)，pkp_kpk​为质因子

例子：12=22×3112=2^2×3^112=22×31，12的约数有1,2,3,4,6,12共6个，根据公式计算同样是(2+1)×(1+1)=6(2+1)×(1+1)=6(2+1)×(1+1)=6个

n的每个约数m都可以表示成m=p1b1∗p2b2∗...∗pkbkm=p_1^{b_1}*p_2^{b_2}*...*p_k^{b_k}m=p1b1​​∗p2b2​​∗...∗pkbk​​的形式，0<=bk<=ck0<=b_k<=c_k0<=bk​<=ck​，每个bkb_kbk​有(ck+1)(c_k+1)(ck​+1)种选法，于是就有(c1+1)(c2+1)…(ck+1)(c_1+1)(c_2+1)…(c_k+1)(c1​+1)(c2​+1)…(ck​+1)个因数

我们分解质因子后，获取质因子的指数，最后套用(c1+1)(c2+1)…(ck+1)(c_1+1)(c_2+1)…(c_k+1)(c1​+1)(c2​+1)…(ck​+1)即可

int getDivisorsNum(int n) {vector nums;for (int i = 2; i <= n / i; i++) {if (n % i == 0) {int num = 0;while (n % i == 0) {n /= i;num++;}// 获取质因子的指数nums.push_back(num);}}if(n > 1) nums.push_back(1);int ans = 1;for (int num : nums) {ans *= (num + 1);}return ans;
}

三、约数之和

例子：12=22×3112=2^2×3^112=22×31，12的约数有1,2,3,4,6,12，约数之和为28，根据公式计算同样是(20+21+22)×(30+31)=28(2^0+2^1+2^2)×(3^0+3^1)=28(20+21+22)×(30+31)=28个

其中，p0+p1+p2+...+pn=(((p+1)×p+1)×p+1...)+1p^0+p^1+p^2+...+p^n=(((p+1)×p+1)×p+1...)+1p0+p1+p2+...+pn=(((p+1)×p+1)×p+1...)+1，一直循环n次

int getDivisorsSum(int n) {const int mod = 1e9 + 7;unordered_map primes;for (int i = 2; i <= n / i; i++) {if (n % i == 0) {while (n % i == 0) {n /= i;primes[i]++;}}}if (n > 1) primes[n] = 1;long long ans = 1;for (auto prime : primes) {int p = prime.first;int n = prime.second;// 计算sum = p^0 + p^1 + p^2 + ... + p^nlong long sum = 1;while (n >= 1) {sum = (sum * p + 1) % mod;n--;}ans = ans * sum % mod;}return ans;
}

四、最大公约数（欧几里得算法/辗转相除法）

如果d是a的约数，也是b的约数，则d是ax+by的约数，则有：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，gcd(a,0)=agcd(a,0)=agcd(a,0)=a

比如a=24，b=18，那么gcd(24,18)=6，gcd(18,24%18)=6

int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

时间复杂度为O(logn)O(logn)O(logn)