文章目录

• 3D 变换
• • 缩放(Scale)
  • 平移(Translation)
  • 旋转(Rotation)
  • 3D 旋转(3D Rotation)
• 什么是欧拉角
• • • 罗德里格斯旋转公式(Rodrigues' Rotation Formula)
• Viewing transformation
• • 什么是 View / Camera Transformation
  • • 相机标准位置(约定俗成)
    • 怎样将一个相机从一个任意的摆放，放到一个标准位置
    • 使用数学方式表示相机到标准位置的变换
  • 投影变换(Projection Transformation)
  • • 正交投影和透视投影的区别
    • 正交投影
    • • 正交投影的变换矩阵
  • 透视投影(Perspective Projection)
  • • 怎样实现透视投影
    • 计算透视投影的变换矩阵

3D 变换

同样引入齐次坐标：

• 3D 点 = (x,y,z,1)T(x, y, z, 1)^T(x,y,z,1)T
• 3D 向量 = (x,y,z,0)T(x, y, z, 0)^T(x,y,z,0)T
  通常，(x,y,z,w)(x, y, z, w)(x,y,z,w)(w != 0) 表示一个坐标为 (x/w,y/w,z/w)(x/w, y/w, z/w)(x/w,y/w,z/w) 的 3D 点

用一个 4x4 的矩阵来表示 3D 的仿射变换
(x′y′z′1)\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛​x′y′z′1​⎠⎟⎟⎞​ = (abctxdeftyghitz0001)\begin{pmatrix}a&b&c&t_x\\d&e&f&t_y\\g&h&i&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛​adg0​beh0​cfi0​tx​ty​tz​1​⎠⎟⎟⎞​.(xyz1)\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛​xyz1​⎠⎟⎟⎞​

2D/3D 变换中，是先做旋转(线性变换)再做平移

缩放(Scale)

S(sx,sy,sz)S(s_x, s_y, s_z)S(sx​,sy​,sz​) = (sx0000sy0000sz00001)\begin{pmatrix}s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛​sx​000​0sy​00​00sz​0​0001​⎠⎟⎟⎞​

平移(Translation)

T(tx,ty,tz)T(t_x, t_y, t_z)T(tx​,ty​,tz​) = (100tx010ty001tz0001)\begin{pmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛​1000​0100​0010​tx​ty​tz​1​⎠⎟⎟⎞​

旋转(Rotation)

绕 x, y, z 三个轴分别做旋转的情况:

• 绕 X 轴旋转
  Rx(α)R_x(\alpha)Rx​(α) = (10000cosα−sinα00sinαcosα00001)\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&cos\alpha&-sin\alpha&0\\0&sin\alpha&cos\alpha&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛​1000​0cosαsinα0​0−sinαcosα0​0001​⎠⎟⎟⎞​
• 绕 Y 轴旋转
  Ry(α)R_y(\alpha)Ry​(α) = (cosα0sinα00100−sinα0cosα00001)\begin{pmatrix}cos\alpha&0&sin\alpha&0\\0&1&0&0\\-sin\alpha&0&cos\alpha&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛​cosα0−sinα0​0100​sinα0cosα0​0001​⎠⎟⎟⎞​
• 绕 Z 轴旋转
  Rz(α)R_z(\alpha)Rz​(α) = (cosα−sinα00sinαcosα0000100001)\begin{pmatrix}cos\alpha&-sin\alpha&0&0\\sin\alpha&cos\alpha&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛​cosαsinα00​−sinαcosα00​0010​0001​⎠⎟⎟⎞​

提示: R_y 中 −sinα-sin\alpha−sinα 而 R_x 和 R_z 中是 sinαsin\alphasinα 的原因是, Y 轴是由 Z 叉乘 X 得到的，而不是 X 叉乘 Z(右手定则).

3D 旋转(3D Rotation)

任意的 3D 旋转都可以表示为绕 X Y Z 轴旋转的组合，公式如下
Rxyz(α,β,γ)R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma)Rxyz​(α,β,γ) = Rx(α)Ry(β)Rz(γ)R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)Rx​(α)Ry​(β)Rz​(γ)

什么是欧拉角

其中，α,β,γ\alpha, \beta, \gammaα,β,γ 分别代表绕 X Y Z 三个轴旋转的角度，叫做欧拉角 （pitch, yaw, roll）
pitch 是围绕 X 轴旋转，也叫做俯仰角
yaw 是围绕 Y 轴旋转，也叫偏航角
roll 是围绕 Z 轴旋转，也叫翻滚角

罗德里格斯旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula)

Viewing transformation

这里的 Viewing transformation 包括 View(视图)/Camera 变换和 Projection(投影) 变换

投影变换包括： 正交(Orthographic)投影和透视(Perspective)投影

什么是 View / Camera Transformation

思考怎么拍一张照片？

1. 找到一个合适的地方并且排列好拍照的人 (模型变换 Model Transformation)
2. 找到一个合适的拍照角度放置相机 (视图变换 View Transformation)
3. 拍照 (投影变换 Projection Transformation)
   简称 MVP

怎么进行视图变换(View/Camera Transformation)?
首先定义相机的姿态(位置e⃗\vec{e}e，看的方向g^\hat{g}g^​，向上方向(up direction, t^\hat{t}t^))

相机标准位置(约定俗成)

相机的位置为原点(0, 0, 0), Y 轴向上，看向 -Z，物体随着相机变换

View Transformation 操作的是相机，其他物体跟着进行同样的变换

怎样将一个相机从一个任意的摆放，放到一个标准位置

• 将 e⃗\vec{e}e 平移到原点
• 将 g^\hat{g}g^​ 旋转到 -Z
• t^\hat{t}t^ 旋转到 Y
• 旋转 (gxt)(g x t)(gxt) 到 X (注解: g 叉乘 t 得到 t⃗g⃗\vec{t} \vec{g}tg​ 坐标系的另一个轴)与 X 对应

使用数学方式表示相机到标准位置的变换

第一步，先做 e⃗\vec{e}e 到原点的平移，TviewT_{view}Tview​ 如图
第二部，因为计算从 g 到 -Z, t 到 Y, (g x t) 到 X 的旋转矩阵 RviewR_{view}Rview​ 比较困难，则先考虑 X 到 (g x t), Y 到 t, Z 到 -g，然后在求逆, 因为旋转矩阵就是一个正交矩阵，对求得旋转矩阵做一个转置，则可得到 g 到 -Z, t 到 Y, (g x t) 到 X 的旋转矩阵 RviewR_{view}Rview​

相机按照此变换矩阵进行变换之后，相机内的物体都需按照此矩阵进行同样的变换。

View/Camera Transformation 是为了 Projection Transformation 做准备

投影变换(Projection Transformation)

前面说到投影变换分为正交投影(Orthographic Projection) 和透视投影(Perspective Projection)

正交投影和透视投影的区别

正交投影, 不会给人带来近大远小的视觉(错觉)，通常用在工程制图方面。
透视投影, 会给人带来近大远小的视觉(错觉)

正交投影

正交投影简单的理解/做法：

1. 将相机放置在原点，看向 -Z，Y 是向上方向
2. 那么如果直接将 Z 坐标直接扔掉，就可很方便的得到一个(x, y)二维平面的图形。
3. 之后在将其平移和缩放到一个 [-1, 1] 的矩形内。
   
   通常的做法:
   将一个立方体的 [左(left), 右(right)] x [下(bottom), 上(top)] x [远(fast), 近(near)] 映射到一个 canonical 的立方体上[−1,1]3[-1, 1]^3[−1,1]3
   
   通常的做法与简单的做法的区别:

• 通过平移将立方体居中
• 通过缩放将立方体变为 “canonical” 立方体

此种情况下，对于 X 和 Y 都是 l, b 在 X, Y 轴的负半轴，r 和 t 在 X, Y 轴的正半轴, 则都是 r > l, t > b。而 f 在 Z 的负半轴(Camera 看向 -Z)，n 在 Z 的正半轴，所以当立方体距离相机近的 n 的值是大于距离相机远的 f(正常应该是距离越远，值越大)。这也是 OpenGL 为什么使用左手系的原因.

正交投影的变换矩阵

2r−l\frac{2}{r-l}r−l2​ 是将立方体的长度缩放到 [-1, 1] 的范围内，对于它的 Y 和 X 是同样的操作。
−r+l2-\frac{r+l}{2}−2r+l​ 是 X 轴的平移，对于它的 Y 和 X 是同样的操作

透视投影(Perspective Projection)

回顾一下齐次坐标的概念:
(x,y,z),(kx,ky,kz,k!=0),(xz,yz,z2,z!=0)(x, y, z), (kx, ky, kz, k != 0), (xz, yz, z^2, z != 0)(x,y,z),(kx,ky,kz,k!=0),(xz,yz,z2,z!=0) 都表示在 3D 空间中的同一个点 (x,y,z)(x, y, z)(x,y,z) 。
例如，(1,0,0,1)(1, 0, 0, 1)(1,0,0,1) 和 (2,0,0,2)(2, 0, 0, 2)(2,0,0,2) 都表示 (1,0,0)(1, 0, 0)(1,0,0)

怎样实现透视投影

• 先将 Frustum 挤压称为一个长方体(n -> n, f -> f)(Mpersp−>orthoM_{persp->ortho}Mpersp−>ortho​)
• 然后做正交投影
  

计算透视投影的变换矩阵

与 y′y'y′ 类似的 x′=nzxx' = \frac{n}{z}xx′=zn​x
那么在齐次坐标系中就有：