文章目录

• 1.何为快速幂
• • 1.1学习快速幂的好文章
  • 1.2快速幂取模代码（对1000取模）
• 2.矩阵快速幂

1.何为快速幂

补充一个公式证明：

1.1学习快速幂的好文章

http://t.csdn.cn/agKop

1.2快速幂取模代码（对1000取模）

ll fastPower(ll base,ll power){ll result=1;while(power>0){if(power&1) result=result*base%1000;power>>=1;base=(base*base)%1000;}return result;
}

2.矩阵快速幂

顾名思义，就是快速地求矩阵的幂。B站上Schtonn UP主的视频特别好，我就是看他的才看懂的。视频名称：看图学会矩阵快速幂（求斐波那契数列）

现在我简单讲一下。

斐波那契数列：

根据第二个式子，我们可以定义一个矩阵来表示f(x)的状态。如图：

那么，f(x+1)的状态就应该是：

那么，如何由f(x)状态转为f(x+1)状态呢？
引入另一个矩阵M，我们需要找到这个矩阵M的具体值，使得

根据矩阵乘法的规则可知，M矩阵应是两行两列（M有两列才可以分别和f(x-1),f(x-2)相乘,又因为右边式子有两行，所以说明M有两行)

那么设：

则有：

得：

由

得 a=1,b=1,c=1,d=0,即：

把M矩阵乘以我们定义的矩阵，就相当于把当前矩阵转移到了下一个状态。比如M乘以f(x)状态的矩阵，就得到f(x+1)状态的矩阵。

那么我们把矩阵M乘以n次，再乘以f(x)，是不是就得到f(x+n)状态的矩阵？也就得到了f(x+n)的值。

设这里f(x)的状态表示x=3时f(3)的状态。
那么

就表示f(x+2)也就是f(5)时的状态。我算出来是等于3f(x-1)+2f(x-2),而f(x-1)=f(2)=1,f(x-2)=f(1)=1。
所以f(5)=3f(x-1)+2f(x-2)=5。
斐波拉契为：1 1 2 3 5
也可验证上述结论正确。

现在，我们可以得出结论：

就是往后推算K位。
此时我们再定义一个初始矩阵

也就是

所以

得出的矩阵里的数相加就是斐波那契数列的第k+2位的值。