【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4.4.3 矩阵方程求解
前置：正规方程
a. 有解情况
若矩阵方程 AXB=DAXB=DAXB=D 有解相容，则有特解 X0=A+DB+X_0=A^+DB^+X0=A+DB+
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无解定理：若 X0=A+DB+X_0=A^+DB^+X0=A+DB+ ，使 AX0B≠DAX_0B\neq DAX0B=D ，则矩阵方程无解
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齐次方程 AXB=0AXB=0AXB=0 的通解公式为：X=Y−A+AYBB+X=Y-A^+AYBB^+X=Y−A+AYBB+ Y为任一矩阵
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矩阵方程 AXB=DAXB=DAXB=D 的通解公式为：X=X0+(Y−A+AYBB+)=A+DB++(Y−A+AYBB+)X=X_0+(Y-A^+AYBB^+) = A^+DB^++(Y-A^+AYBB^+)X=X0+(Y−A+AYBB+)=A+DB++(Y−A+AYBB+)
AXA=AAXA=AAXA=A必有解,特解为 X0=A+AA+=A+X_0=A^+AA^+=A^+X0=A+AA+=A+，通解为 X=X0+(Y−A+AYAA+)X=X_0+(Y-A^+AYAA^+)X=X0+(Y−A+AYAA+)
A有特解 A0=A+=(1,0,0)1×3A_0=A^+=\left(1,0,0\right)_{1\times 3}A0=A+=(1,0,0)1×3 ，通解公式为 X=A++(Y−A+AYAA+)X=A^++(Y-A^+AYAA^+)X=A++(Y−A+AYAA+) Y与 A+A^+A+ 同型即 Y=Y1×3Y=Y_{1\times 3}Y=Y1×3
令 Y=(a,b,c)Y=(a,b,c)Y=(a,b,c) ,a,b,c为任意复数
X=A++(a,b,c)−A+A(a,b,c)AA+=(1,0,0)+(a,b,c)−(a,0,0)=(1,b,c)\begin{aligned} &X=A^++\left(a,b,c\right)-A^+A\left(a,b,c\right)AA^+\\ &=\left(1,0,0\right)+\left(a,b,c\right)-\left(a,0,0\right)=\left(1,b,c\right) \end{aligned} X=A++(a,b,c)−A+A(a,b,c)AA+=(1,0,0)+(a,b,c)−(a,0,0)=(1,b,c)
解得：X=(1,b,c)T=(1bc)X=(1,b,c)^T=\left(\begin{matrix}1\\b\\c\end{matrix}\right)X=(1,b,c)T=⎝⎛1bc⎠⎞ 即若 AXA=AAXA=AAXA=A 有解，则 ATXTAT=ATA^TX^TA^T=A^TATXTAT=AT 有解
b. 无解情况
若矩阵方程 AXB=DAXB=DAXB=D 无解，矩阵 X=(xij)p×qX=(x_{ij})_{p\times q}X=(xij)p×q 的欧式范数或模长记为 ∥X∥=∥X∥F=∑∣xij∣2=tr(XHX)\Vert X\Vert=\Vert X\Vert_F=\sqrt{\sum\vert x_{ij}\vert^2}=\sqrt{tr(X^HX)}∥X∥=∥X∥F=∑∣xij∣2=tr(XHX)
