【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——减号逆_办公生活

【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——减号逆

创始人

2024-03-07 17:54:26

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4.5 减号逆

若 A=Am×nA=A_{m\times n}A=Am×n 与 X=Xn×mX=X_{n\times m}X=Xn×m ，有 AXA=AAXA=AAXA=A ，则称 X=Xn×mX=X_{n\times m}X=Xn×m 为A的减号逆(一号逆)，记为 X=A−=A(1)X=A^{-}=A^{(1)}X=A−=A(1)

全体 A−A^{-}A− 的集合记为 A{1}={X∣AXA=A}A^{\{1\}}=\{X\mid AXA=A\}A{1}={X∣AXA=A}

A−∈A{1}A^{-}\in A^{\{1\}}A−∈A{1}

4.5.1 性质

自反性：AA−A=AAA^{-}A=AAA−A=A

幂等性：(A−A)2=A−A(A^{-}A)^2=A^{-}A(A−A)2=A−A ，且 (AA−)2=AA−(AA^{-})^2=AA^{-}(AA−)2=AA− ，其中A是方阵
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A−A^{-}A− 不唯一，可以看做 A−1A^{-1}A−1 的推广

如 A=(10)A=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)A=(10) ，可取 X=(1 0) 或 Y=(1 1) 作为A的减号逆
A−A^{-}A− 唯一的阵：方阵An×nA_{n\times n}An×n可逆，则必有唯一 A−1=A+=A−A^{-1}=A^{+}=A^-A−1=A+=A−

若A为列满秩（高阵），则 A−A=IA^-A=IA−A=I；若A为行满秩（低阵），则 AA−=IAA^-=IAA−=I

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4.5.2 计算

a. 求解AXA=AAXA=AAXA=A

求解减号逆 A−A{-}A− 即求解 AXA=AAXA=AAXA=A 的全体通解

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由矩阵方程AXB=D的特解X0=A+=(1,0,0),故通解为A−=X=X0+Y−A+AYAA+=(1，0，0)+(a，b，c)−(a，0，0)=(1，b，c)\begin{aligned} &由矩阵方程AXB=D的特解X_0=A^+=\left(1,0,0\right),故通解为A^-=X=X_0+Y-A^+AYAA^+\\ &=\left(1，0，0\right)+\left(\begin{matrix}a，b，c\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}a，0，0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1，b，c\end{matrix}\right) \end{aligned} 由矩阵方程AXB=D的特解X0=A+=(1,0,0),故通解为A−=X=X0+Y−A+AYAA+=(1，0，0)+(a，b，c)−(a，0，0)=(1，b，c)

也可见 A−A^-A− 不唯一

对于高阶阵 A−=A++(Y−A+AYAA+)A^-=A^++(Y-A^+AYAA^+)A−=A++(Y−A+AYAA+) 的计算比较复杂

b. 标准对角形

若 A=(Ir000)m×nA=\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{m\times n}A=(Ir000)m×n ，则全体 A−=(IrBCD)n×mA^-=\left(\begin{matrix}I_r&B\\C&D\end{matrix}\right)_{n\times m}A−=(IrCBD)n×m ，BCD为任一小块

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若 PAQ=(Ir000)m×nPAQ=\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{m\times n}PAQ=(Ir000)m×n ，全体 A−=Q(Ir000)n×mPA^{-}=Q\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{n\times m}PA−=Q(Ir000)n×mP ，BCD为任一小块

c. 初等行，列变换（一般方法）

设 A=Am×nA=A_{m\times n}A=Am×n ，令 (AImIn0)→列变换行变换((Ir000)m×nPQ0)\left(\begin{array}{c:c}A&I_m\\\hdashline I_n&0\end{array}\right)\xrightarrow[列变换]{行变换}\left(\begin{array}{c:c}\left(\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right)_{m\times n}&P\\\hdashline Q&0\end{array}\right)(AInIm0)行变换列变换⎝⎛(Ir000)m×nQP0⎠⎞ ，则有 A−=Q(IrBCD)n×mPA^-=Q\left(\begin{matrix}I_r&B\\C&D\end{matrix}\right)_{n\times m}PA−=Q(IrCBD)n×mP

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4.5.3 矩阵方程求解

前置知识：正规方程求解

a. 特解

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b. 解空间

N(A)N(A)N(A) 或 AY=0AY=0AY=0 的通解为 Y=(In−A−A)yY=(I_n-A^-A)yY=(In−A−A)y ，∀y∈Cn\forall y\in C^n∀y∈Cn

N(A)={Y∣AY=0}N(A)=\{Y\vert AY=0\}N(A)={Y∣AY=0} ，X=(In−A−A)y,y=(y1⋮yn)∈CnX=(I_n-A^-A)y,y=\left(\begin{matrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{matrix}\right)\in C^nX=(In−A−A)y,y=⎝⎜⎛y1⋮yn⎠⎟⎞∈Cn

设y的值域为 R，则 N(A)=R(In−A−A)N(A)=R(I_n-A^-A)N(A)=R(In−A−A) ，维数 dimN(A)=n−r(A−A)dim N(A)=n-r(A^-A)dimN(A)=n−r(A−A)