扩展欧几里得算法 是在 欧几里得算法 && 裴楚定理 基础上得出来的

前提回顾：

欧几里得算法：
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a, b) = gcd(b,a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
裴楚定理：
若 a , b 是整数,且 gcd ⁡ ( a , b ) = d，那么对于任意的整数 x , y , ax + by 都一定是 d 的倍数，特别地，一定存在整数 x , y，使 ax + by = d 成立。

扩展欧几里得算法

当 b=0b = 0b=0 时 ax+b=aax + b = aax+b=a 故： x=1,y=0x = 1,\ y = 0x=1, y=0
当 b≠0b \neq 0b​=0 时
由欧几里得算法得： gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a, b) = gcd(b,a\%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
由裴楚定理得：
gcd(a,b)=ax+bygcd(a, b) = ax + bygcd(a,b)=ax+by
gcd(b,a%b)=bx1+(a%b)y1=bx1+(a−⌊ab⌋×b)y1=ay1+b(x1−⌊ab⌋y1)gcd(b,a\%b) = bx_1 + (a\%b)y_1 = bx_1+(a - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times b) y_1 = ay_1 + b(x_1 - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1)gcd(b,a%b)=bx1​+(a%b)y1​=bx1​+(a−⌊ba​⌋×b)y1​=ay1​+b(x1​−⌊ba​⌋y1​)
所以：
x=y1,y=x1−⌊ab⌋y1x = y_1, \ y = x_1 - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1x=y1​, y=x1​−⌊ba​⌋y1​

可以用递归算法，先求出下一层的 x1,x1x_1,\ x_1x1​, x1​
再回代到上一层，层层回代，可以求出特解 (x0,y0)(x_0,\ y_0)(x0​, y0​)

构造通解
x=x0+bgcd(a,b)×kx = x_0 + \frac{b}{gcd(a,b)} \times kx=x0​+gcd(a,b)b​×k
y=y0−agcd(a,b)×ky = y_0 - \frac{a}{gcd(a, b)} \times ky=y0​−gcd(a,b)a​×k
(考虑 ax+by=0ax + by = 0ax+by=0 构造)

exgcd板子代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (b == 0){x = 1, y = 0;return a;}// int d = exgcd(b, a % b, x, y);// int t = x;// x = y, y = t - a / b * y;// 或int d = exgcd(b, a % b, y, x);y = y - a / b * x;return d;
}

例题一：

P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程
板子题，不做解释。

AC代码：

int a, b;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (b == 0){x = 1, y = 0;return a;}// int d = exgcd(b, a % b, x, y);// int t = x;// x = y, y = t - a / b * y;// 或int d = exgcd(b, a % b, y, x);y = y - a / b * x;return d;
}
void solve()
{cin >> a >> b;int x, y;int d = exgcd(a, b, x, y);cout << (x % b + b) % b << '\n';
}
int main()
{buff;solve();
}

例题二：

青蛙的约会

思路：

假设跳了 t 次后相遇，则可以列出方程：(x+mt)%L=(y+nt)%L(x + mt) \% L = (y + nt) \% L(x+mt)%L=(y+nt)%L，将未知数 t 移到等式左边，常数移到等式右边，得到模线性方程：(m−n)t%L=(y−x)%L(m-n) t \%L = (y-x) \% L(m−n)t%L=(y−x)%L
利用扩展欧几里德定理可以求得 t 的通解 (t0+kd∣k为任意整数)(t_0 + kd | k为任意整数)(t0​+kd∣k为任意整数)，由于这里需要求 t 的最小正整数，而 t0t_0t0​ 不一定是最小的正整数，甚至有可能是负数，我们发现 ttt 的通解是关于 d 同余的，所以最后的解可以做如下处理：ans=(t0%d+d)%dans = (t_0 \% d + d) \% dans=(t0​%d+d)%d

AC代码：

#define int long long
//#define ll long long
#define PII pair
#define px first
#define py second
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 100009;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (b == 0){x = 1, y = 0;return a;}// int d = exgcd(b, a % b, x, y);// int t = x;// x = y, y = t - a / b * y;// 或int d = exgcd(b, a % b, y, x);y = y - a / b * x;return d;
}
void solve()
{int x, y, m, n, L;cin >> x >> y >> m >> n >> L;int a, b;int d = exgcd(n - m, L, a, b);if ((x - y) % d){cout << "Impossible\n";return;}cout << ((a * ((x - y) / d)) % L + L) % L << '\n';
}
signed main()
{buff;solve();
}