统计信号处理基础 习题解答6-11
题目：
考虑WSS中估计DC电平问题，给定
其中
是零均值WSS随机过程，ACF为
，估计A。建议在 时用图6.5所示的FIR滤波器的输出来估计A。注意估计量为：
输入
假定在n<0 时为零。为了得到更好的估计量，我们希望有一个滤波器，它让DC信号A通过，但阻值噪声 。因此我们选择
为约束条件，通过选择FIR滤波器的系数
，使得输出的噪声功率在 时达到最小。求最佳滤波器系统和最佳滤波器输出端的最小噪声功率，解释你的结果。
解答
根据数字信号处理知识，输入序列 经过FIR滤波器
之后，输出序列
可以表示为：
数字信号处理卷积，可以参考：
什么是卷积 - 知乎
根据题目，输出在n=N-1 上观测，那么得到：
再考虑到 和 的序列取值后，得到：
根据题目，用
去估计
。
代入
后得到：
因此，中的噪声分量为：
因此，输出序列在N-1 出的噪声功率为：
其中
考虑到FIR滤波器的系统函数可以表示成：
而
时
就是FIR滤波器的频率响应，相关系统函数可以参考：系统函数,频率响应定义_shawn_shao的博客-CSDN博客_系统频率响应
根据题目条件，直流信号（频率为0）要能够无变化通过，即ω=0 时，存在：
其中：
汇总上述条件，此题目就是在
条件下，求
的最小值。
对比BLUE的推导过程，可以得到其中的s=1 ，a=h ,因此：
此时最小的噪声功率为：
如果此时考虑
的估计方差，即：
对比可以发现
与输出端噪声功率相同，此时最小输出噪声功率，也就约束了最小的 估计方差。
因此，我们可以这么认为：通过考察 的BLUE估计，得到方差最小情况下的系数
，而在数字信号领域内实现上述BLUE估计的时候，该系数也就是FIR滤波器的抽头系数，两者是一致的。
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