王洪伟：流体力学与微积分方法求解水池进排水问题
作者 | 王洪伟 北京航空航天大学副教授，仿真秀专栏作者
导 读：经过了几篇略显烧脑的文章后，来一篇轻松一点的，经典的小学数学应用题。
1、问题分析
题：一个水池有一个进水管和一个排水管。只开进水管，2个小时可以把水池放满，之后关闭进水管，只开排水管，需6个小时可以把水池排空。问：从空水池开始，同时打开进排水管，多长时间可以把水池放满?
解：设水池的体积是“1”，则进水速度是1/2（1小时进1/2池子的水），排水速度是1/6（1小时排1/6池子的水）。
时间=体积/(进水速度-排水速度)=1/(1/2-1/6)=3 (小时)
答：需要3小时可以放满。
然而......
这个解答并不符合实际的情况，因为位于水池底部的排水管的排水速度并不是恒定的，而是和水的深度有关，具体关系式可以用伯努利定律得出。
当排水口的尺寸比水池小得多时，放水过程中水面下降速度很慢，这时可以通过伯努利定律得出排水速度为：
g为重力加速度，h为水面到排水口的深度。
其实这个关系式也可以不用伯努利定律，而是用势能与动能的转化得出：
用一个可乐瓶做个实验，就可以观察到排水速度随水深变化的现象。
如果把这个题干中的“排水”明确写成用水泵抽水，就可以当小学数学题了，上面的解答也就合理了。
▲ 如果是用水泵抽水，则排水速度可以恒定。
2、正式解答：要解答这道“小学”数学题，除了要用到流体力学的伯努利定律和连续方程外，要得到最终解还需要用到微积分方法，所以......
这里给出一种求解的过程，供大家参考。
假设只开进水，放满时间为T1，只开排水，排空的时间为T2，求同时开，放满时间T。
3、先看结果：这个过程有点复杂，用了我一个下午，最终总结成了两页纸。
先来看结果吧：
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流体力学的应用——（小学数学应用题）水池进排水问题的求解
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