今日主要总结一下动态规划完全背包的一道题目，322. 零钱兑换

题目：322. 零钱兑换

Leetcode题目地址
题目描述：
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104

本题重难点

这是一道典型的背包问题，本题给定的数组里面的元素可以重复取，所以这是一个完全背包。

在动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经兑换一次零钱了，这次又要兑换，套路不一样！

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式
   凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
   所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
   递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3. dp数组如何初始化
   首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
   其他下标对应的数值呢？
   考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
   所以下标非0的元素都是应该是最大值。
   代码如下：

vector dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

其实判断如何初始化重要一点就是看dp是取之前状态最小值还是最大值，如果最小值就大概率INT_MAX,最大值就大概率0。

4. 确定遍历顺序
   本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
   所以本题并不强调集合是组合还是排列。
   如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
   如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
   在动态规划之前文章我们讲过了求组合数是一文搞懂完全背包之518. 零钱兑换 II问题，求排列数是一文搞懂完全背包之377. 组合总和 Ⅳ问题
   所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！
   那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。
   本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
   综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

5. 举例推导dp数组

以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

C++代码

class Solution {
public:int coinChange(vector& coins, int amount) {vectordp(amount + 1, INT_MAX);dp[0] = 0;for(int i = 0; i < coins.size(); i++){for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);}}}if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;return dp[amount];}
};

C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上
dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

这篇文章主要总结了一些动态规划解决322. 零钱兑换问题，依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目！

判断如何初始化重要一点就是看dp是取之前状态最小值还是最大值，如果最小值就大概率INT_MAX,最大值就大概率0。

在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。（也就是0-1背包一维dp数组常用写法）

• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

而本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！

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