进阶版：（努力更新中）

二阶行列式

我们先来看看二元一次方程。

{a1,1x1+a1,2x2=b1a2,1x2+a2,2x2=b2\left\{ \begin{matrix} a_{_{1,1}} x_{_1} + a_{_{1,2}} x_{_2} = b_{_1} \\ \\ a_{_{2,1}} x_{_2} + a_{_{2,2}} x_{_2} = b_{_2} \end{matrix} \right. ⎩⎨⎧​a1,1​​x1​​+a1,2​​x2​​=b1​​a2,1​​x2​​+a2,2​​x2​​=b2​​​

如果我们对他求一个通解，就可以求出来

{x1=b1a2,2−a1,2b2a1,1a2,2−a1,2a2,1x2=a1,1b2−b1a2,1a1,1a2,2−a1,2a2,1\left\{ \begin{matrix} x_{_1} = \dfrac{ b_{_1} a_{_{2,2}} - a_{_{1,2}}b_{_2} }{ a_{_{1,1}} a_{_{2,2}} - a_{_{1,2}} a_{_{2,1}} } \\\\ x_{_2} = \dfrac{ a_{_{1,1}} b_{_2} - b_{_1}a_{_{2,1}} }{ a_{_{1,1}} a_{_{2,2}} - a_{_{1,2}} a_{_{2,1}} } \end{matrix} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​x1​​=a1,1​​a2,2​​−a1,2​​a2,1​​b1​​a2,2​​−a1,2​​b2​​​x2​​=a1,1​​a2,2​​−a1,2​​a2,1​​a1,1​​b2​​−b1​​a2,1​​​​

我们可以发现两个通解的分母相同，于是我们引进一个新的符号来表示，也就是二阶行列式，表示如下：

D=∣a1,1a1,2a2,1a2,2∣=a1,1a2,2−a1,2a2,1D= \begin{vmatrix} a_{_{1,1}} & a_{_{1,2}} \\ a_{_{2,1}} & a_{_{2,2}} \end{vmatrix} = a_{_{1,1}} a_{_{2,2}} - a_{_{1,2}} a_{_{2,1}} D=∣∣∣∣​a1,1​​a2,1​​​a1,2​​a2,2​​​∣∣∣∣​=a1,1​​a2,2​​−a1,2​​a2,1​​

其中的数就称为元素。

我们可以很清晰的看出它的运算方法就是对角线相乘再相减，这就是二阶行列式的对角线法则。

三阶行列式

我们一样来看一个三元一次方程：

{a1,1x1+a1,2x2+a1,3x3=b1a2,1x2+a2,2x2+a2,3x3=b2a3,1x1+a3,2x2+a3,3x3=b3\left\{ \begin{matrix} a_{_{1,1}} x_{_1} + a_{_{1,2}} x_{_2} + a_{_{1,3}} x_{_3} = b_{_1} \\\\ a_{_{2,1}} x_{_2} + a_{_{2,2}} x_{_2} + a_{_{2,3}} x_{_3} = b_{_2} \\\\ a_{_{3,1}} x_{_1} + a_{_{3,2}} x_{_2} + a_{_{3,3}} x_{_3} = b_{_3} \end{matrix} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​a1,1​​x1​​+a1,2​​x2​​+a1,3​​x3​​=b1​​a2,1​​x2​​+a2,2​​x2​​+a2,3​​x3​​=b2​​a3,1​​x1​​+a3,2​​x2​​+a3,3​​x3​​=b3​​​

同样转化为行列式，只不过是三阶。

D=∣a1,1a1,2a1,3a2,1a2,2a2,3a3,1a3,2a3,3∣D= \begin{vmatrix} a_{_{1,1}} & a_{_{1,2}} & a_{_{1,3}} \\ a_{_{2,1}} & a_{_{2,2}} & a_{_{2,3}} \\ a_{_{3,1}} & a_{_{3,2}} & a_{_{3,3}} \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣​a1,1​​a2,1​​a3,1​​​a1,2​​a2,2​​a3,2​​​a1,3​​a2,3​​a3,3​​​∣∣∣∣∣∣​

如果按照我们二阶的对角线法则，好像有点不大对，发现和通解的分母不大一样，于是我们继续观察。

通解的分母为：

a1,1a2,2a3,3+a1,2a2,3a3,1+a1,3a2,1a3,2−a1,3a2,2a3,1−a1,2a2,1a3,3−a1,1a2,3a3,2a_{_{1,1}}a_{_{2,2}}a_{_{3,3}} + a_{_{1,2}}a_{_{2,3}}a_{_{3,1}} + a_{_{1,3}}a_{_{2,1}}a_{_{3,2}}- a_{_{1,3}}a_{_{2,2}}a_{_{3,1}} - a_{_{1,2}}a_{_{2,1}}a_{_{3,3}} - a_{_{1,1}}a_{_{2,3}}a_{_{3,2}} a1,1​​a2,2​​a3,3​​+a1,2​​a2,3​​a3,1​​+a1,3​​a2,1​​a3,2​​−a1,3​​a2,2​​a3,1​​−a1,2​​a2,1​​a3,3​​−a1,1​​a2,3​​a3,2​​

如果把他们在复制一遍，就会发现一个神奇的规律。

如上图，红色的就是符号为正的项，蓝色的就是符号为负的项。

你会发现他们似乎还是满足对角线法则。（只不过多了几条对角线）

但是！！！

只有二阶行列式和三阶行列式满足对角线法则。（一定不要以为所有的行列式都满足！！！）

一般行列式

我们来看看三阶行列式的值。

a1,1a2,2a3,3+a1,2a2,3a3,1+a1,3a2,1a3,2−a1,3a2,2a3,1−a1,2a2,1a3,3−a1,1a2,3a3,2a_{_{1,1}}a_{_{2,2}}a_{_{3,3}} + a_{_{1,2}}a_{_{2,3}}a_{_{3,1}} + a_{_{1,3}}a_{_{2,1}}a_{_{3,2}}- a_{_{1,3}}a_{_{2,2}}a_{_{3,1}} - a_{_{1,2}}a_{_{2,1}}a_{_{3,3}} - a_{_{1,1}}a_{_{2,3}}a_{_{3,2}} a1,1​​a2,2​​a3,3​​+a1,2​​a2,3​​a3,1​​+a1,3​​a2,1​​a3,2​​−a1,3​​a2,2​​a3,1​​−a1,2​​a2,1​​a3,3​​−a1,1​​a2,3​​a3,2​​

我们发现，在行号排好序的情况下，列号就是 111 到 333 的全排列。

并且它这一项的符号跟列号的逆序对的个数有关。

如果逆序对的个数为奇，则符号为负，如果逆序对的个数为偶，则符号为正。

于是我们可以得出一般行列式的定义，那就是：

Dn=∣a1,1a1,2⋯a1,na2,1a2,2⋯a2,n⋮⋮⋱⋮a3,1a3,2⋯a3,n∣=∑p1p2⋯pn(−1)t(p1p2⋯pn)a1,P1a2,P2⋯an,PnD_{_n}= \begin{vmatrix} a_{_{1,1}} & a_{_{1,2}} & \cdots & a_{_{1,n}} \\ a_{_{2,1}} & a_{_{2,2}} & \cdots & a_{_{2,n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{_{3,1}} & a_{_{3,2}} & \cdots & a_{_{3,n}} \end{vmatrix} =\sum_{p_{_1}p_{_2}\cdots\ p_{_n}} (-1)^{t(p_{_1}p_{_2}\cdots\ p_{_n})}a_{_{1,P_{_1}}}a_{_{2,P_{_2}}}\cdots \ a_{_{n,P_{_n}}} Dn​​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a1,1​​a2,1​​⋮a3,1​​​a1,2​​a2,2​​⋮a3,2​​​⋯⋯⋱⋯​a1,n​​a2,n​​⋮a3,n​​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=p1​​p2​​⋯ pn​​∑​(−1)t(p1​​p2​​⋯ pn​​)a1,P1​​​​a2,P2​​​​⋯ an,Pn​​​​

其中 ppp 是 nnn 的全排列， t(p1p2⋯pn){t(p_{_1}p_{_2}\cdots\ p_{_n})}t(p1​​p2​​⋯ pn​​) 是 ppp 的逆序对。