动态规划入门-01背包问题

问题描述

假设你有个最大载重量为300kg300kg300kg的背包，有4个物品。它们的重量分别为123kg,88kg,93kg,100kg123kg,88kg,93kg,100kg123kg,88kg,93kg,100kg，价值分别为$$10,$19,$8,$20$。

请问背包内最大可以放入多少价值的物品？

问题求解

这个问题被称为01背包问题，是典型的动态规划例题。

这里的价值是我们要优化的目标值，物品数目和重量为两个状态，所以依据这两个状态可以定义二维dp数组。

对于每个物品，我们有两种选择，即放入背包或者不放入背包。

我们设数组f[n][w]代表前n个物品在w容量的背包里可以放入的最大价值。

当没有物品或者背包容量为0时，价值显然是0：
f[0][w]=f[n][0]=0f[0][w] = f[n][0] = 0 f[0][w]=f[n][0]=0
我们求解的是背包内的物品价值最大化，则状态转移为：
f[i][j]={f[i−1][j],w[i]>jmax(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+v[i]),w[i]≤jf[i][j] = \begin{cases} f[i-1][j] &, w[i]>j \\ max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]] + v[i]) &, w[i] \leq j \end{cases} f[i][j]={f[i−1][j]max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+v[i])​,w[i]>j,w[i]≤j​

代码实现

Java

public class mian {static int maxVal(int[] w,int[] v,int maxw) {int n = w.length;int[][] f = new int[n][maxw+1];for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 1; j <= maxw; j++) {if (j < w[i]) {f[i][j] = f[i-1][j];} else {f[i][j] = Math.max(f[i-1][j-w[i]] + v[i],f[i-1][j]);}}}return f[n-1][maxw];}public static void main(String[] args) {int[] w = {123, 88, 93, 100};int[] v = {10, 19, 8, 20};int maxw = 300;System.out.println(maxVal(w,v,maxw)); // 47}
}