文章目录

• 1. 泊松分布定义
• 2.泊松分布具体实例
• • 实例1：
  • 实例2：
• 3.生成泊松分布的代码

1. 泊松分布定义

定义
如果一个离散随机变量XXX,它的质量密度函数由下式给出，则我们称这个离散随机变量XXX服从泊松分布
f(k;λ)=p(X=k)=λke−λk!,λ>0,k=0,1,2,3,...f(k;\lambda)=p(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},\lambda>0,k=0,1,2,3,...f(k;λ)=p(X=k)=k!λke−λ​,λ>0,k=0,1,2,3,...
假设与有效条件
以下假设成立时，泊松分布模型适用:

• 事件在一个时间间隔内发生，且k可以取值0，1，2，…；
• 一个事件的发生不影响下一个事件发生的概率，也就是事件发生是相互独立的；
• 事件发生的平均速率（average event rate）与任何事件的发生无关。一般为简单起见，通常假定事件发生的平均速率为常数，但实际上可能随时间而变化；
• 两个事件不可能在完全相同的时刻发生，即在每一小段的时间内正好有一个事件发生或不发生。

如果这些条件成立，那么kkk就是一个泊松随机变量，kkk的分布就是一个泊松分布。
泊松分布的概率质量函数为

泊松分布的参数λ是随机事件发生次数的数学期望值，且服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，即 λ=E(X)=Var(X)\lambda=E(X)=Var(X)λ=E(X)=Var(X)。
性质：服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数{\displaystyle \lambda }\lambda : {\displaystyle E(X)=V(X)=\lambda }{\displaystyle E(X)=V(X)=\lambda }

2.泊松分布具体实例

实例1：

在一条特定的河流上，平均每 100 年发生一次洪水。假设发生洪水次数符合泊松分布，那么计算 100 年间发生k = 0、1、2、3、4、5 或 6 次洪水的概率 就可以用泊松分布的公式直接计算。

因为平均事件率（average event rate）是每 100 年发生一次洪水，所以λ=1\lambda=1λ=1.

p(100年内发生k次洪水)=λke−λk!=1ke−1k!=e−1k!p(100年内发生k次洪水)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\frac{1^{k}e^{-1}}{k!}=\frac{e^{-1}}{k!}p(100年内发生k次洪水)=k!λke−λ​=k!1ke−1​=k!e−1​
p(100年内发生0次洪水)=10e−10!=e−11≈0.368p(100年内发生0次洪水)=\frac{1^{0}e^{-1}}{0!}=\frac{e^{-1}}{1}\approx0.368p(100年内发生0次洪水)=0!10e−1​=1e−1​≈0.368
p(100年内发生1次洪水)=11e−11!=e−11≈0.368p(100年内发生1次洪水)=\frac{1^{1}e^{-1}}{1!}=\frac{e^{-1}}{1}\approx0.368p(100年内发生1次洪水)=1!11e−1​=1e−1​≈0.368
p(100年内发生2次洪水)=12e−12!=e−12≈0.184p(100年内发生2次洪水)=\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}=\frac{e^{-1}}{2}\approx0.184p(100年内发生2次洪水)=2!12e−1​=2e−1​≈0.184
p(k=3)=0.061p(k=3)=0.061p(k=3)=0.061
p(k=4)=0.015p(k=4)=0.015p(k=4)=0.015
…

实例2：

María Dolores Ugarte及其同事在一篇报道中指出世界杯足球比赛中的平均进球数约为2.5个，也适合泊松分布。 因为平均事件率（average event rate）为每场比赛 2.5 个进球，所以 λ = 2.5。
p(一场世界杯比赛进k个球)=2.5ke−2.5k!p(一场世界杯比赛进k个球)=\frac{2.5^{k}e^{-2.5}}{k!}p(一场世界杯比赛进k个球)=k!2.5ke−2.5​
p(一场世界杯比赛进0个球)=2.50e−2.50!=e−2.51≈0.082p(一场世界杯比赛进0个球)=\frac{2.5^{0}e^{-2.5}}{0!}=\frac{e^{-2.5}}{1}\approx0.082p(一场世界杯比赛进0个球)=0!2.50e−2.5​=1e−2.5​≈0.082
p(一场世界杯比赛进1个球)=2.51e−2.51!=2.5e−2.51≈0.205p(一场世界杯比赛进1个球)=\frac{2.5^{1}e^{-2.5}}{1!}=\frac{2.5e^{-2.5}}{1}\approx0.205p(一场世界杯比赛进1个球)=1!2.51e−2.5​=12.5e−2.5​≈0.205
p(一场世界杯比赛进2个球)=2.52e−2.52!=6.25e−2.52≈0.257p(一场世界杯比赛进2个球)=\frac{2.5^{2}e^{-2.5}}{2!}=\frac{6.25e^{-2.5}}{2}\approx0.257p(一场世界杯比赛进2个球)=2!2.52e−2.5​=26.25e−2.5​≈0.257
p(k=3)=0.213p(k=3)=0.213p(k=3)=0.213
p(k=4)=0.133p(k=4)=0.133p(k=4)=0.133
p(k=5)=0.067p(k=5)=0.067p(k=5)=0.067
…

3.生成泊松分布的代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef poisson(lam:float,max_k:int):"""采用迭代求解的方式计算泊松分布泊松分布：p(k) = exp(-lam) * (lam**k) / k!,k>=0.迭代方式：p(k) = p(k-1) * lam / k, k>=1, and p(0) = exp(-lam)."""poisson_score = []# p(0) = exp(-lam)p_0 = np.exp(-lam)poisson_score.append(p_0)k_mult = 1 # 计算阶乘的中间变量for i in range(1,max_k):p_k = poisson_score[-1] * lam / ipoisson_score.append(p_k)return poisson_scoredef main():lam1 = 1lam2 = 2lam3 = 5lam4 = 10max_k = 20poisson_score1 = poisson(lam1,max_k)poisson_score2 = poisson(lam2,max_k)poisson_score3 = poisson(lam3,max_k)poisson_score4 = poisson(lam4,max_k)x = np.arange(len(poisson_score1))plt.plot(x,poisson_score1,'c*-',c='b',label='lambda='+str(lam1))plt.plot(x,poisson_score2,'c*-',c='g',label='lambda='+str(lam2))plt.plot(x,poisson_score3,'c*-',c='r',label='lambda='+str(lam3))plt.plot(x,poisson_score4,'cv-',c='b',label='lambda='+str(lam4))plt.title("Poisson distribution")plt.ylabel("Probability")plt.xlabel("k")plt.xticks(x,[str(item) for item in range(len(poisson_score1))]) # 刻度plt.grid(True)plt.legend()plt.show()if __name__ == "__main__":main()

参考文献
[1].https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution