决策树算法讨论

（1）硬件环境

根据数据在纸上进行手动演算得到初期结果，使用电脑使用代码进行验证。

（2）软件环境

在电脑上验证时使用了python作为主要工具。

1．3 设计思想

     (1)回归树概念：

回归决策树主要指CART(classification and regression tree)算法，内部结点特征的取值为“是”和“否”， 为二叉树结构。

所谓回归，就是根据特征向量来决定对应的输出值。回归树就是将特征空间划分成若干单元，每一个划分单元有一个特定的输出。因为每个结点都是“是”和“否”的判断，所以划分的边界是平行于坐标轴的。对于测试数据，我们只要按照特征将其归到某个单元，便得到对应的输出值。

划分的过程也就是建立树的过程，每划分一次，随即确定划分单元对应的输出，也就多了一个结点。当根据停止条件划分终止的时候，最终每个单元的输出也就确定了，也就是叶结点。

(2)回归树建立：

寻找切分点和确定输出值是回归决策树的核心。

1)切分点的选择使用最小二乘法

2)输出值的确定用单元内均值

原理如下：

1)设X和Y分别为输入和输出变量，并且Y是连续变量。给定训练数据集为D，其中x为输入实例，n为特征个数，i=1,2,...,N, N为样本容量。

2)特征空间的划分采用启发式方法，每次划分逐一考察当前集合中所有特征的所有取值，根据平方误差最小化准则选择其中最优的一个作为切分点。

• 如对训练集中第j个特征变量x和它的取值s，作为切分变量和切分点，并定义两个区域R1和R2，为找出最优的j和s，对下式求解：

也就是找出使要划分的两个区域平方误差和最小的j和s。

其中，c1,c2为划分后两个区域内固定的输出值，方括号内的两个min意为使用的是最优的c1和c2,也就是使各自区域内平方误差最小的c1和c2，易知这两个最优的输出值就是各自对应区域内Y的均值，所以上式可写为

(3)算法描述：

输入：训练数据集D;

输出：回归树f(x);

在训练数据集所在的输入空间中，递归地将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：

1)选择最优切分变量j与切分点s，求解

遍历变量j，对固定的切分变量对j扫描切分点s，选择使上式达到最小值的对(j,s)。

2)用选定的对(j,s)划分区域并决定相应的输出值：

,

其中，,

3)继续对两个子区域调用步骤(1),(2)，直至满足停止条件

(4) 将输入空间划分为M个区域

生成决策树：

其中I为指示函数，

例题：

将年收入定为Y,序号定为X，手动推演如下：

1．4 流程图

1．5 主要程序代码(要求必须有注释)

预测趋势的程序：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor #调用回归树模型

from sklearn import linear_model

# Data set

x = np.array(list(range(1, 11))).reshape(-1, 1) #序号作为输入值

y = np.array([12.5, 10, 7, 12, 9.5, 6, 22, 8.5, 7.5, 9]).ravel() #将收入当作输出值

# Fit regression model

model1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=1) #决策树深度1

model2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=3) #决策树深度3

model3 = linear_model.LinearRegression() #线性回归

model1.fit(x, y)

model2.fit(x, y)

model3.fit(x, y)

# Predict

X_test = np.arange(0.0, 10.0, 0.01)[:, np.newaxis] #确定x轴的范围

y_1 = model1.predict(X_test) #得到训练后返回的值进行预测

y_2 = model2.predict(X_test)

y_3 = model3.predict(X_test)

# Plot the results

plt.figure()

plt.scatter(x, y, s=20, edgecolor="black",

            c="darkorange", label="data")

plt.plot(X_test, y_1, color="cornflowerblue",

         label="max_depth=1", linewidth=2) #将预测数据的曲线带入图中

plt.plot(X_test, y_2, color="yellowgreen", label="max_depth=3", linewidth=2)

plt.plot(X_test, y_3, color='red', label='liner regression', linewidth=2)

plt.xlabel("data")

plt.ylabel("target")

plt.title("Decision Tree Regression")

plt.legend()

plt.show()

判断准确率的程序：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor  #调用回归树模型

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

x = np.array(list(range(1, 11))).reshape(-1, 1)

y = np.array([12.5, 10, 7, 12, 9.5, 6, 22, 8.5, 7.5, 9]).ravel()

#创建模型

r_tree1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=1)

r_tree3 = DecisionTreeRegressor(max_depth=3)

#训练模型

r_tree1.fit(x,y)

r_tree3.fit(x,y)

#求预测值

h1 = r_tree1.predict(x)

h3 = r_tree3.predict(x)

print('max_depths=1准确率：',r_tree1.score(x,y))

print('max_depths=3准确率：',r_tree3.score(x,y))

# 画图

plt.scatter(x,y,label='真实值')

plt.plot(x,h3,c='r',label='预测值')

plt.legend()

plt.show()

1．6 运行结果及分析

预测趋势的程序：

这个图的趋势和上面手动推演的结果基本一致，切分点在7.5和9.5左右。

判断准确率的程序：

输出结果为为：

因为决策树深度越深，正确率越高，因此可以将深度高的作为预测值，深度低的为真实值，从而得到更好的结果。