切比雪夫多项式
创始人
2024-04-04 21:35:25

文章目录

      • 前言
      • 多项式函数
      • 切比雪夫多项式
      • 性质
        • 递推式

前言

切比雪夫是俄国超级有名的，土生土长的数学家，其比较出名的贡献有：切比雪夫多项式和切比雪夫大数定律。本文说切比雪夫多项式。
参考视频：切比雪夫多项式。

多项式函数

在这里插入图片描述
而且一般说某一个函数是多项式函数的时候，我们还会说其是多少次的，比如一次函数就是1次。

切比雪夫多项式

其表达式如下：
在这里插入图片描述

有人一脸懵逼，函数中有cos的东西，竟然最终会是x的多项式？这其实一点也不奇怪，为什么呢？个人觉得是因为x的定义域很古怪，从而这和三角函数会有千丝万缕的关系。你看下面的例子，n=2,x=cosθn=2,x=cos\thetan=2,x=cosθ，不看中间那个，即左边等于右边，右边就是2x2−12x^2-12x2−1，左边就是cos2arccosxcos2arccosxcos2arccosx，妙吧。

在这里插入图片描述

现在，我们要证明，对于任意n，右边都会是cosθcos\thetacosθ的多项式。
在这里插入图片描述
温馨提示，左边那个式子肯定是有实部和虚部的，我们要找到的就是会被i2=−1i^2=-1i2=−1抵消的那些实部，从而我们可以发现，左边实部=cosθcos\thetacosθ的多项式=右边实部=cosnθcosn\thetacosnθ。

我们继续证明一个小东西，即不但cosnθcosn\thetacosnθ是cosθcos\thetacosθ的n次多项式，而且系数是2n−12^{n-1}2n−1。
在这里插入图片描述
这就证明完了。

性质

递推式

我们知道，当n取不同数的时候，得到不同次数的切比雪夫多项式。但是由于三角函数性质贼多，所以相邻的3个切比雪夫多项式存在如下关系：
在这里插入图片描述
完整证明如下，归根到底是三角函数的性质多

在这里插入图片描述

词库加载错误:未能找到文件“E:\highferrum_mysql\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。

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