作者： 华丞臧.
专栏：【数据结构】
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文章目录

• 一、树
• • 1.1 树的概念及结构
  • 1.2 树的相关概念
  • 1.3 树的表示
  • 1.4 树在实际中的运用
• 二、二叉树的概念及结构
• • 2.1 二叉树的概念
  • 2.2 特殊的二叉树
  • 2.3 二叉树的性质
  • 2.4 二叉树的存储结构
  • • 顺序结构
    • 链式存储

一、树

1.1 树的概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合，把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶是朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根节点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分为M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每个集合Ti(1<=i<=m)又是一棵结构与树类似的子树，每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。
  注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。
  

1.2 树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的度为6。

• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点。

• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：DEFG等分支节点。

• 双父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为堂兄弟节点

• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

• 森林：由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林。

1.3 树的表示

树的结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来比较麻烦，既要保存值域又要保存结点和结点之间的关系。
实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

1.4 树在实际中的运用

二、二叉树的概念及结构

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
   

• 二叉树不存在度大于 2 的节点
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任意二叉树都是由一下几种情况复合而成的：

现实中的二叉树：

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。假设一个二叉树的层数为k，且节点总数是2^k - 1,则它是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是特殊的完全二叉树。
   

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有2^(i-1) 节点。
2. 若规定根节点的层数为 1， 则深度为 h 的二叉树的最大节点数是2^h-1。
3. 对于任何一棵二叉树，如果度为0的叶节点个数是n₀,度为2的分支节点个数为n₂,则有n₀=n₂+1。
4. 若规定根节点的层数为 1，具有n个节点的满二叉树深度，h=log₂(n+1)。

5. 对于具有 n 个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的节点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1=n否则无左孩子
3. 若2i+2=n否则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可使用两种存储结构：

1. 顺序结构
2. 链式结构

顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般只适用于表示完全二叉树，因为不完全二叉树会有空间的浪费，在实际使用当中只有堆才会使用数来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一棵二叉树。

链式存储

二叉树的链式存储结构是用链表来表示一棵二叉树，即用链表来表示元素的逻辑关系。通常方法是链表中的每个节点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该节点左右孩子所在的链表节点地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}；