矩阵论复习提纲

创始人

2024-04-10 10:14:41

矩阵论复习提纲

第一章矩阵相似变化

1、特征值与特征向量

A ∈ C^nxn 若存在 λ ∈ C 满足 Ax = λx 则 λ 为 A 的特征值
可转换为 （λI - A）x = 0
特征多项式：det(λI - A)
特征矩阵： λI - A

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2、相似对角化

1. 判断可对角化&求相似变换矩阵

在这里插入图片描述

2. 计算对角化

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3、Jordan标准形

在这里插入图片描述
J_i 除开主对角线上有只，其上对角线上的元素只能是1或0

1. 求Jordan标准形（线性法-只限于3阶）

在这里插入图片描述

2. 求非可对角化但可Jordan标准化的矩阵的相似变换矩阵

例1

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例2

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第二章范数理论

1、向量范数

1. 范数计算

||x||₁ 范数
||x||₂ 范数
||x||_∞ 范数

例题：
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2. 范数证明

证明模板：

例题：
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2、矩阵范数

1. 范数计算

||A||_m1 范数
||A||_F 范数
||A||_m∞ 范数

其他矩阵范数
||A||₁ 范数、||A||₂ 范数、||A||_∞ 范数

总结：

例题：
在这里插入图片描述

2. 范数证明

证明模板

例题：
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第三章矩阵分析

1、矩阵序列

可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限
设 A ∈ C^nxn，则A为收敛矩阵的充分必要条件是 ρ（A）< 1
ρ（A）是A的某一矩阵范数
推论：设 A ∈ C^nxn 若对 C^nxn 上的某一矩阵范数 ||·|| 有 ||A||，则A为收敛矩阵.

例题：
在这里插入图片描述
第（1）题使用的是判别 ||A||₂ = （5/6）^(1/2) < 1
第（2）题使用的是判别 ||A||₁ = max{0.8, 0.9, 0.8} < 1

例题：
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2、矩阵级数

1、矩阵级数

定义：

例题：
在这里插入图片描述

2、矩阵幂级数

定义：
在这里插入图片描述

例题：
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

3、矩阵函数

4、矩阵微分积分

第四章矩阵分解

1、矩阵的三角分解

2、矩阵的QR分解

3、矩阵的满秩分解

第五章特征值的估计和表示

1、特征值界估计

2、Gerschgorin定理

3、广义特征值问题

第六章广义逆矩阵

1、Moore-Penrose 逆A⁺ 计算

2、A⁺在解线性方程组中的应用

词库加载错误:未能找到文件“E:\highferrum_mysql\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。

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