1. 单连通图的判断算法：
   （1）对每个点进行dfs得到一棵dfs树；
   （2）判断是否存在前向边和横向边，若有则必定存在两个点之间有至少2条简单路径，因此该图不属于单连通图；
   （3）若对所有dfs树不存在（2）中情况，则该图是单连通图。
2. 算法时间复杂度：对VVV个点进行dfs，每次dfs的时间为O(V+E)O(V+E)O(V+E)，因此总时间复杂度为O(V∗(V+E))O(V*(V+E))O(V∗(V+E)).
3. 算法正确性证明：
   必要性(对于单连通图，每个点出发的dfs树中不存在前向边和横向边)：假设点A，B之间存在前向边AB，根据前向边的定义，应存在另外一条由树边组成的路径A->B，不满足至多1条简单路径的要求；
   假设点A，B之间存在横向边AB，根据算法步骤易知A，B应在以某个点为根的dfs树中，设为R，那么在点R，B之间至少存在R->A->B和R->B两条路径，不满足至多1条简单路径的要求；
   充分性（对于一个图，每个点出发的dfs树中不存在前向边或横向边则是单连通图）:等价于证明逆否命题，若图中A，B两个点之间存在2条路径，则一定对应存在的前向边或者横向边。设A，B之间存在路径(A,x1,x2,...,xn,B)(A,x_1,x_2,...,x_n,B)(A,x1​,x2​,...,xn​,B)以及(A,y1,y2,...,ym,B)(A,y_1,y_2,...,y_m,B)(A,y1​,y2​,...,ym​,B),
   当m,nm,nm,n均大于0时，根据白色路径定理，xix_ixi​，yjy_jyj​以及B均为A的子孙，因此(xn,B)(x_n,B)(xn​,B)和(ym,B)(y_m,B)(ym​,B)必有一个是横向边；（此处有纰漏）
   当m=0,n>0m=0,n>0m=0,n>0时，(A,B)(A,B)(A,B)是前向边或者(xn,B)(x_n,B)(xn​,B)是横向边；当m>0,n=0m>0,n=0m>0,n=0时类同。
   以上。

以下是老师ppt上的证明：
大题思路相同，但我证明最后“因此(xn,B)(x_n,B)(xn​,B)和(ym,B)(y_m,B)(ym​,B)必有一个是横向边”的论断是错的，可以修补。

分为两条路径上不存在v的后代和存在v的后代两种情况。第一种可以断定(xr,v)(x_r,v)(xr​,v)和(yt,v)(y_t,v)(yt​,v)中有一条是前向边或交叉边；第二种，存在这样一条搜索路径u→yj→v→w→xk→vu\rightarrow y_j \rightarrow v \rightarrow w \rightarrow x_k \rightarrow vu→yj​→v→w→xk​→v（如下图所示，标号对应关系：j=tj=tj=t，k=rk=rk=r），此时(yk,v)(y_k,v)(yk​,v)是树边，而(xj,v)(x_j,v)(xj​,v)是返回边，但我们仍可以找到这样的两条边(xi−1,xi)(x_{i-1},x_i)(xi−1​,xi​)和(yi−1,yi)(y_{i-1},y_i)(yi−1​,yi​)其中有一条是前向边或交叉边。