🧑‍💻作者： @情话0.0
📝专栏：《数据结构》
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二叉树（下）

• 前言
• 一、堆的应用
• • 1. 堆排序
  • 2. TOP-K问题
• 二、二叉树链式结构的实现
• • 1.二叉树的结构
  • 2.二叉树的遍历
  • • 2.1 前序遍历
    • 2.2 中序遍历
    • 2.3 后序遍历
    • 2.4 层序遍历
  • 3.二叉树的相关练习
  • 3.1 二叉树节点个数
  • 3.2 二叉树的高度
  • 3.3 二叉树叶子节点个数
  • 3.4 二叉树第K层节点个数
  • 3.5 二叉树查找值为x的节点
  • 3.6 判断二叉树是否是完全二叉树
• 总结

前言

  上一篇文章主要讲解了关于二叉树的概念、性质以及顺序结构的实现，此篇文章将继续完成堆的应用、二叉树的链式结构介绍以及相关操作实现。

一、堆的应用

1. 堆排序

  想要完成堆排序，第一步就是要完成建堆，而堆的类型分为大堆和小堆，这两种堆类型对应着不同排序结构，如果要实现从小到大的排序，那么就要建大堆，相反就要建小堆。
  利用堆删除思想来进行排序，建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

  思路： 1）完成建堆，让其拥有父亲结点大于孩子结点的特性（或者父亲结点小于孩子结点）
      2）交换根结点与最后一个孩子结点，那么此时最大的结点就来到了堆的最后一位，将堆的元素个数减一，然后在从根结点（刚交换上去的结点）完成向下调整算法。《注意： 堆的顺序结构是用数组实现的，所以说将堆元素个数减一并不是将其删除，而是将其放在了数组的最后一个位置》
      3）一直持续到最后两个结点将其完成交换即可完成堆排序。

代码实现：

void swap(int* left, int* right)
{int temp = *left;*left = *right;*right = temp;
}
//向下调整算法
void AdjustDown(HeapDataType array[], int num, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < num){if (child + 1 < num && array[child] < array[child + 1]){child ++ ;}if (array[child]>array[parent]){swap(&array[child], &array[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HeapCreat(Heap* h,int arr[],int num)
{h->array = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType)*num);memcpy(h->array, arr, sizeof(HeapDataType)*num);for (int root = (num - 2) / 2; root >= 0; --root){//建堆AdjustDown(h->array, num, root);}//堆排序int end = num - 1;while (end){swap(&h->array[0], &h->array[end]);AdjustDown(h->array, end, 0);end--;}
}void HeapTest()
{Heap h;int arr[10] = { 5, 4, 3, 9, 7, 6, 1, 2, 8, 0 };int num = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);HeapCreat(&h, arr, num);for (int i = 0; i < num; i++){printf("%d ", h.array[i]);}printf("\n");
}

2. TOP-K问题

  TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

  对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆；前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素进行比较，若符合条件进行交换（大堆，小于堆顶元素；小堆，大于堆顶元素），再完成向下调整算法，直到剩余的N-K个元素都已比较完，最后堆中剩余的K个元素就是所求前K个最小或者最大的元素。

代码实现：（选择十个数字中的前三大，建小堆）

void Swap(HPDataType* left, HPDataType* right)
{HPDataType temp = *left;*left = *right;*right = temp;
}void AdjustDown(Heap* hp, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n&&hp->array[child] > hp->array[child + 1]){child += 1;}if (hp->array[child] < hp->array[parent]){Swap(&hp->array[child], &hp->array[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{return;}}
}void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{assert(hp);hp->array = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);if (hp->array == NULL){return;}memcpy(hp->array, a, sizeof(HPDataType)*n);hp->size = hp->capacity = n;//先建小堆（3个元素）for (int root = (n - 2) / 2; root >= 0; root--){AdjustDown(hp, n, root);}//再将剩余7个元素与根结点比较插入for (int i = n; i < 10; i++){//取前三大元素，建小堆，大于堆顶元素进行交换，判断，调整if (a[i]>hp->array[0]){Swap(&a[i], &hp->array[0]);AdjustDown(hp, 3, 0);}}
}void Test()
{int arr[10] = { 5, 8, 1, 6, 3, 0, 2, 7, 4, 9 };Heap hp;HeapCreate(&hp, arr, 3);for (int i = 0; i < 3; i++){printf("%d ", hp.array[i]);}printf("\n");}

二、二叉树链式结构的实现

1.二叉树的结构

结点类型，包括左右孩子指针以及该结点的数值域

typedef struct BTNode
{struct BTNode* Lchild;struct BTNode* Rchild;BTNDataType data;
}BTNode;

2.二叉树的遍历

  二叉树的遍历是指按某条搜索路径访问树中的每个结点，使得每个结点均被访问每一次，而且仅访问一次。由于二叉树是一种非线性结构，每个结点都可能有两棵子树，因而需要寻找一种规律，以便使二叉树上的结点能排列在一个线性队列上，进而便于遍历。
  由二叉树的递归定义可知，遍历一棵二叉树便要决定对根结点 N、左子树L 和右子树R 的访问顺序。按照先遍历左子树再遍历右子树的原则，常见的遍历次序有先序 (NLR)、中序 (LNR)和后序(LRN)三种遍历算法，其中 “序” 指的是根结点在何时被访问。

2.1 前序遍历

  访问根结点，先序遍历左子树，先序遍历右子树

void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}printf("%d ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}

2.2 中序遍历

  中序遍历左子树，访问根结点，中序遍历右子树

void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}

2.3 后序遍历

  后序遍历左子树，后序遍历右子树，访问根结点

void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}

2.4 层序遍历

  除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
  对于目前知识储备，我们只能选择通过队列来完成对二叉树的层序遍历，大致思路就是先将根结点入队，然后在其出队的同时将它的两个孩子结点入队，一直持续到队列为空（当孩子结点为空时不入队）

主要代码：

typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;void LeverOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);int leverSize = 0;//先入根结点if (root != NULL){QueuePush(&q, root);leverSize = 1;}while (!QueueEmpty(&q)){//此处的leverSize记录的是每一行的结点个数while (leverSize--){//注意：在这里，对头的返回值类型本应该是 int 类型的，但是为了后续的结点访问，//要将其强制转化为二叉树结点类型BTNode* front = QueueFront(&q);printf("%d ", front->data);QueuePop(&q);if (front->left){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right){QueuePush(&q, front->right);}}printf("\n");leverSize = QueueSize(&q);}printf("\n");QueueDestroy(&q);
}

3.二叉树的相关练习

3.1 二叉树节点个数

  通过全局变量进行计数，每到一个结点就总数++

//全局变量计数
int size = 0;
int TreeNodeNum(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}size++;TreeNodeNum(root->left);TreeNodeNum(root->right);return size;
}

3.2 二叉树的高度

  一直递归到最后一层，根据左右子树的高度进行比较加一获取当前结点的高度。

int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}int Lheight = TreeHeight(root->left);int Rheight = TreeHeight(root->right);return Lheight >= Rheight ? Lheight + 1 : Rheight + 1;
}

3.3 二叉树叶子节点个数

  判断当前结点不为空且左右孩子都为空时就为叶子结点。

int LeafNodeNum(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->left == NULL&&root->right == NULL){return 1;}return LeafNodeNum(root->left) + LeafNodeNum(root->right);
}

3.4 二叉树第K层节点个数

  大致思路与叶子节点一样，主要判断条件发生了变化。而是当 K 变成 1 时就计数。

int LayerKNum(BTNode* root, int k)
{if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}k--;return LayerKNum(root->left, k) + LayerKNum(root->right, k);
}

3.5 二叉树查找值为x的节点

BTreeNode* BinaryTreeFind(BTreeNode* root, BTreeNodeType x)
{BTreeNode* ret1 = NULL;BTreeNode* ret2 = NULL;if (root == NULL){return NULL;}if (root->data == x){return root;}ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);if (ret1)return ret1;ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);if (ret2)return ret2;
}

3.6 判断二叉树是否是完全二叉树

  大致思路是与层序遍历一致的，同样要使用队列来进行辅助，还是先一层一层的将结点入、出队列，当遇到空结点时停止入队列。然后再判断队列中是否都为空结点，若都是空结点，则为完全二叉树，反之不为完全二叉树。

int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root != NULL){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);//遇到空结点就立马结束入队列if (front == NULL){break;}//空结点也要入队列else{QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front){QueueDestroy(&q);return 0;}}QueueDestroy(&q);return 1;
}

总结

  至此就基本完成了对二叉树的学习，主要还是要明白二叉树的性质，堆的创建、排序和TOPK问题，核心内容就是要明白向下调整算法以及向上调整算法的实现（这些都是建立于二叉树是完全二叉树的基础之上）。再者就是熟悉二叉树的遍历算法，主要是前中后序遍历，层序遍历的实现稍微有点难度，以及二叉树的有关操作（递归实现）。
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