什么是PageRank？

PageRankPageRankPageRank算法由GoogleGoogleGoogle创始人LarryPageLarry\ PageLarry Page在斯坦福大学时提出，又称PRPRPR，佩奇排名。主要针对网页进行排名，计算网站的重要性优化搜索引擎的搜索结果。PRPRPR值表示其重要性的因子。

算法中心思想

数量假设：
当在网页模型图中，一个网页受到的其他网页指向的入链(in−linksin-linksin−links)越多，说明该网页越重要。

质量假设：
当一个质量高的网页指向(out−linksout-linksout−links)一个网页，说明这个被指的网页很重要

入链与出链：

PageRank公式

PR(a)i+1=∑j=0nPR(Tj)iL(Tj)PR(a)_{i+1}=\sum_{j=0}^n\frac{PR(T_j)_i}{L(T_j)}PR(a)i+1​=j=0∑n​L(Tj​)PR(Tj​)i​​

• PR(a)iPR(a)_iPR(a)i​：表示第iii轮迭代，节点aaa的PRPRPR值
• TjT_jTj​：TTT表示指向节点aaa的节点的集合；TTT中共有nnn个节点，TjT_jTj​表示集合中的第jjj个节点
• PR(Tj)iPR(T_j)_iPR(Tj​)i​：第jjj个指向aaa的节点的PRPRPR值，iii表示第iii轮迭代
• L(Tj)L(T_j)L(Tj​)：第jjj个指向aaa的节点的出链数

• PageRankPageRankPageRank算法的基本想法是在有向图上定义一个随机游走模型，即一阶马尔可夫链，描述随机游走者沿着有向图随机访问各个结点的行为。
• 浏览者在每个网页依照连接出去的超链接以等概率跳转到下一个网页，并在网上持续不断进行这样的随机跳转，这个过程形成随机游走的一阶马尔可夫链。
• 即每次PRPRPR的更新只会考虑一跳距离的网页，当迭代的次数足够多就能通过其他所有的网页信息得出自己的PRPRPR值。

实例：

i=0i=0i=0，第一轮循环：

先求PR(A)1PR(A)_{1}PR(A)1​
PR(A)1=∑j=0nPR(Tj)0L(Tj)=PR(C)0L(C)+PR(D)0L(D)=142+141=38PR(A)_{1}=\sum_{j=0}^n\frac{PR(T_j)_0}{L(T_j)}=\frac{PR(C)_0}{L(C)}+\frac{PR(D)_0}{L(D)}=\frac{\frac{1}{4}}{2}+\frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{3}{8}PR(A)1​=j=0∑n​L(Tj​)PR(Tj​)0​​=L(C)PR(C)0​​+L(D)PR(D)0​​=241​​+141​​=83​

因为指向AAA的节点只有CCC和DDD，所以只考虑这两个节点。L(C)L(C)L(C)表示节点CCC的出链数，图中有两个箭头从CCC发出，所以L(C)=2L(C)=2L(C)=2；同理L(D)=1L(D)=1L(D)=1；

其余节点进行相同的PRPRPR计算：

PR(B)1=∑j=0nPR(Tj)0L(Tj)=PR(A)0L(A)=142=18PR(B)_{1}=\sum_{j=0}^n\frac{PR(T_j)_0}{L(T_j)}=\frac{PR(A)_0}{L(A)}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}PR(B)1​=j=0∑n​L(Tj​)PR(Tj​)0​​=L(A)PR(A)0​​=241​​=81​

PR(C)1=∑j=0nPR(Tj)0L(Tj)=PR(A)0L(A)+PR(B)0L(B)=142+141=38PR(C)_{1}=\sum_{j=0}^n\frac{PR(T_j)_0}{L(T_j)}=\frac{PR(A)_0}{L(A)}+\frac{PR(B)_0}{L(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{2}+\frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{3}{8}PR(C)1​=j=0∑n​L(Tj​)PR(Tj​)0​​=L(A)PR(A)0​​+L(B)PR(B)0​​=241​​+141​​=83​

PR(D)1=∑j=0nPR(Tj)0L(Tj)=PR(C)0L(C)=142=18PR(D)_{1}=\sum_{j=0}^n\frac{PR(T_j)_0}{L(T_j)}=\frac{PR(C)_0}{L(C)}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}PR(D)1​=j=0∑n​L(Tj​)PR(Tj​)0​​=L(C)PR(C)0​​=241​​=81​

更新表格：

向量化
引入转移概率矩阵/马尔可夫矩阵：
W=ABCDABCD[001/211/20001/2100001/20]W=\begin{matrix} \ \ \ \ \ \ A\ \ \ \ \ B\ \ \ \ \ C\ \ \ \ \ D\\ \begin{matrix} A\\B\\C\\D \end{matrix}\begin{bmatrix} 0 &0&1/2&1 \\ 1/2 & 0&0&0\\1/2 & 1&0&0\\0 & 0&1/2&0\end{bmatrix} \end{matrix}W=      A     B     C     DABCD​​01/21/20​0010​1/2001/2​1000​​​

看第一列，有两个1/21/21/2分别表示AAA跳转到BBB的概率为1/21/21/2、AAA跳转到CCC的概率为1/21/21/2。

即列和为1，第iii行第jjj列表示从节点jjj跳转到节点iii的概率。

• 按列来看WWW矩阵：
  每一列的和为111，所以按列看表示转移概率
  而转移概率值正是出链的倒数
  即若Wij≠0W_{ij}≠0Wij​=0，则Wij=1L(j)W_{ij}=\frac{1}{L(j)}Wij​=L(j)1​
• 按行来看WWW矩阵：
  若Wij≠0W_{ij}≠0Wij​=0,则jjj为指向iii的节点

将上一轮的PRPRPR值定义为VVV：
V=[PR(A)PR(B)PR(C)PR(D)]V=\begin{bmatrix} PR(A) \\ PR(B) \\ PR(C) \\ PR(D)\end{bmatrix}V=​PR(A)PR(B)PR(C)PR(D)​​

所以新一轮的PRPRPR值更新公式为：
Vi+1=W∗ViV_{i+1}=W*V_{i}Vi+1​=W∗Vi​

所以上述的第一轮迭代向量化如下：
V1=ABCDABCD[001/211/20001/2100001/20]×[1/41/41/41/4]=[3/81/83/81/8]V_1=\begin{matrix} \ \ \ \ \ \ A\ \ \ \ \ B\ \ \ \ \ C\ \ \ \ \ D\\ \begin{matrix} A\\B\\C\\D \end{matrix}\begin{bmatrix} 0 &0&1/2&1 \\ 1/2 & 0&0&0\\1/2 & 1&0&0\\0 & 0&1/2&0\end{bmatrix} \end{matrix}\times \begin{bmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ 1/4 \\ 1/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/8 \\ 1/8 \\ 3/8 \\ 1/8 \end{bmatrix}V1​=      A     B     C     DABCD​​01/21/20​0010​1/2001/2​1000​​​×​1/41/41/41/4​​=​3/81/83/81/8​​

与之前计算的一致。

看第一行的计算，是计算AAA节点的PRPRPR值：
[001/21][1/41/41/41/4]\begin{bmatrix} 0&0&1/2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ 1/4 \\ 1/4 \end{bmatrix}[0​0​1/2​1​]​1/41/41/41/4​​
当左边的第jjj个元素为000时，表示第jjj个元素不是指向AAA的节点，则对PR(A)PR(A)PR(A)无贡献。
当左边的第jjj个元素不为000时，表示第jjj个元素是指向AAA的节点，其值为1/L(j)1/L(j)1/L(j)，与右边第jjj个元素相乘：PR(j)/L(j)PR(j)/L(j)PR(j)/L(j)。
PR(A)+=PR(j)/L(j)PR(A)+=PR(j)/L(j)PR(A)+=PR(j)/L(j)
与之前定义的公式一致。

第二次迭代：
V1=ABCDABCD[001/211/20001/2100001/20]×[3/81/83/81/8]=[5/163/165/163/16]V_1=\begin{matrix} \ \ \ \ \ \ A\ \ \ \ \ B\ \ \ \ \ C\ \ \ \ \ D\\ \begin{matrix} A\\B\\C\\D \end{matrix}\begin{bmatrix} 0 &0&1/2&1 \\ 1/2 & 0&0&0\\1/2 & 1&0&0\\0 & 0&1/2&0\end{bmatrix} \end{matrix}\times \begin{bmatrix} 3/8 \\ 1/8 \\ 3/8 \\ 1/8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5/16 \\ 3/16 \\ 5/16 \\ 3/16 \end{bmatrix}V1​=      A     B     C     DABCD​​01/21/20​0010​1/2001/2​1000​​​×​3/81/83/81/8​​=​5/163/165/163/16​​

可以看出，向量化简化了迭代的计算。

DeadEnd问题

DeadEnd问题：当某个节点不存在出链，经过nnn轮迭代，所以的节点的PRPRPR值都会变成000。

实例：

现要计算下图的执行PageRankPageRankPageRank算法：

转移概率矩阵为：
W=ABCABC[000101000]W=\begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \ B\ \ C\ \ \ \ \\ \begin{matrix} A\\B\\C \end{matrix}\begin{bmatrix} 0 &0&0 \\ 1 & 0&1\\0 &0&0\end{bmatrix} \end{matrix}W=        A  B  C    ABC​​010​000​010​​​

新一轮的PRPRPR值为：

PR1=W∗PR0=ABCABC[000101000]×[131313]=[0230]PR_1=W*PR_0=\begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \ B\ \ C\ \ \ \ \\ \begin{matrix} A\\B\\C \end{matrix}\begin{bmatrix} 0 &0&0 \\ 1 & 0&1\\0 &0&0\end{bmatrix} \end{matrix}\times \begin{bmatrix}\frac{1}{3} \\ \\ \frac{1}{3} \\ \\\frac{1}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ \\ \frac{2}{3} \\ \\ 0 \end{bmatrix}PR1​=W∗PR0​=        A  B  C    ABC​​010​000​010​​​×​31​31​31​​​=​032​0​​

下一轮的PRPRPR值为：

PR1=W∗PR0=ABCABC[000101000]×[0230]=[000]PR_1=W*PR_0=\begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \ B\ \ C\ \ \ \ \\ \begin{matrix} A\\B\\C \end{matrix}\begin{bmatrix} 0 &0&0 \\ 1 & 0&1\\0 &0&0\end{bmatrix} \end{matrix}\times \begin{bmatrix}0 \\ \\ \frac{2}{3} \\ \\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ \\ 0 \\ \\ 0 \end{bmatrix}PR1​=W∗PR0​=        A  B  C    ABC​​010​000​010​​​×​032​ 0​​=​000​​

可以发现，当我们循环多次后，这个模型中所有的PR值都会归为000

解决方法：teleportteleportteleport

我们假设一个没有出链的节点向任何其它节点的转移概率是均等的，然后修正WWW。

修正公式：

W=W+a(en)W = W+a(\frac{e}{n})W=W+a(ne​)

• aaa为一个n×nn\times nn×n的矩阵，aaa的第iii列都对应WWW的第iii列，当WWW的第iii列存在不为0的元素时，aia_iai​为全0的列向量；反之，当WWW的第iii列元素全为000时，aia_iai​为全1的列向量。
• eee是一个全为111的列向量
• nnn为WWW的行数，即顶点个数。

实例：修正WWW
W=ABCABC[000101000]W=\begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \ B\ \ C\ \ \ \ \\ \begin{matrix} A\\B\\C \end{matrix}\begin{bmatrix} 0 &0&0 \\ 1 & 0&1\\0 &0&0\end{bmatrix} \end{matrix}W=        A  B  C    ABC​​010​000​010​​​

根据矩阵WWW，可以得出aaa：
a0=[000]、a1=[111]、a2=[000]a_0=\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\0\end{bmatrix}、a_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\1\end{bmatrix}、a_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\0\end{bmatrix}a0​=​000​​、a1​=​111​​、a2​=​000​​

a=[010010010]a=\begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&1&0\\0&1&0\end{bmatrix}a=​000​111​000​​

a(en)=[010010010]∗[131313]=[013001300130]a(\frac{e}{n})=\begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&1&0\\0&1&0\end{bmatrix}*\begin{bmatrix} \frac{1}{3} \\ \\ \frac{1}{3}\\ \\ \frac{1}{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&\frac{1}{3}&0 \\ 0&\frac{1}{3}&0\\0&\frac{1}{3}&0\end{bmatrix}a(ne​)=​000​111​000​​∗​31​31​31​​​=​000​31​31​31​​000​​

Wteleport=W+a(en)=[000101000]+[013001300130]=[013011310130]W_{teleport}=W+a(\frac{e}{n})=\begin{bmatrix} 0 &0&0 \\ 1 & 0&1\\0 &0&0\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0&\frac{1}{3}&0 \\ 0&\frac{1}{3}&0\\0&\frac{1}{3}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &\frac{1}{3}&0 \\ 1 & \frac{1}{3}&1\\0 &\frac{1}{3}&0\end{bmatrix} Wteleport​=W+a(ne​)=​010​000​010​​+​000​31​31​31​​000​​=​010​31​31​31​​010​​

从而解决了某顶点无出边导致PR多次迭代为0的问题。

因此，PRPRPR迭代公式更新为：

PRi+1=(W+a(en))∗PRiPR_{i+1}=(W+a(\frac{e}{n}))*PR_iPRi+1​=(W+a(ne​))∗PRi​

Spider Traps问题

节点AAA与其他节点之间无out−linksout-linksout−links，只能点击AAA节点继续访问；这就是SpiderTrapsSpider\ TrapsSpider Traps，这将会导致网站的权重向一个节点偏移(该节点的PRPRPR越来越大)。如下图：

实例：

现要计算下图的执行PageRankPageRankPageRank算法：

PR(A)1=PR(A)0L(A)+PR(B)0L(B)+PR(C)0L(C)PR(A)_{1}=\frac{PR(A)_0}{L(A)}+\frac{PR(B)_0}{L(B)}+\frac{PR(C)_0}{L(C)}PR(A)1​=L(A)PR(A)0​​+L(B)PR(B)0​​+L(C)PR(C)0​​

而L(A)=1L(A)=1L(A)=1，所以公式可如下：
PR(A)1=PR(A)0+PR(B)0L(B)+PR(C)0L(C)PR(A)_{1}=PR(A)_0+\frac{PR(B)_0}{L(B)}+\frac{PR(C)_0}{L(C)}PR(A)1​=PR(A)0​+L(B)PR(B)0​​+L(C)PR(C)0​​

所以PR(A)PR(A)PR(A)只会越来越大，而其余节点：

PR(B)1=PR(C)0L(C)PR(B)_{1}=\frac{PR(C)_0}{L(C)}PR(B)1​=L(C)PR(C)0​​
PR(C)1=PR(B)0L(B)PR(C)_{1}=\frac{PR(B)_0}{L(B)}PR(C)1​=L(B)PR(B)0​​

可以观察到，PR(B)、PR(C)PR(B)、PR(C)PR(B)、PR(C)都处于变小的趋势。

经过nnn轮更新后：

会发现权重慢慢的向AAA节点偏移。

解决方法：RandomTeleportRandom\ TeleportRandom Teleport

思想：没有出链的节点会以很小的概率跳转到其他节点。

修正概率转移矩阵WWW：

W=βW+(1−β)eeTnW=βW+(1-β)\frac{ee^T}{n}W=βW+(1−β)neeT​

• nnn为WWW的行数
• βββ表示跟随出链(out−linksout-linksout−links)打开网页的概率
• 1−β1-β1−β表示随机跳转到其他非出链指向网页的概率。(如节点AAA会以概率1−β1-β1−β打开BBB或CCC)
• eeTee^TeeT表示n×nn\times nn×n的全1矩阵

实例：
W=ABCABC[11/21/2001/201/20]W=\begin{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ A\ \ \ \ \ \ B\ \ \ \ \ \ \ C\ \ \ \ \\ \begin{matrix} A\\B\\C \end{matrix}\begin{bmatrix} 1 &1/2&1/2 \\ 0 & 0&1/2\\0 &1/2&0\end{bmatrix} \end{matrix}W=        A      B       C    ABC​​100​1/201/2​1/21/20​​​

根据公式：
W=βABC[11/21/2001/201/20]+(1−β)[1/31/31/31/31/31/31/31/31/3]W = β\begin{matrix}\ \ \ A\ \ \ \ \ B\ \ \ \ \ C\ \ \ \ \\ \begin{matrix} \end{matrix}\begin{bmatrix} 1 &1/2&1/2 \\ 0 & 0&1/2\\0 &1/2&0\end{bmatrix} \end{matrix}+(1-β)\begin{matrix} \\ \begin{matrix} \end{matrix}\begin{bmatrix} 1/3 &1/3&1/3 \\ 1/3 & 1/3&1/3\\1/3 &1/3&1/3\end{bmatrix} \end{matrix}W=β   A     B     C    ​100​1/201/2​1/21/20​​​+(1−β)​1/31/31/3​1/31/31/3​1/31/31/3​​​

设置β=0.85β=0.85β=0.85：

W=0.85ABC[11/21/2001/201/20]+(1−0.85)[1/31/31/31/31/31/31/31/31/3]W = 0.85\begin{matrix}\ \ \ A\ \ \ \ \ B\ \ \ \ \ C\ \ \ \ \\ \begin{matrix} \end{matrix}\begin{bmatrix} 1 &1/2&1/2 \\ 0 & 0&1/2\\0 &1/2&0\end{bmatrix} \end{matrix}+(1-0.85)\begin{matrix} \\ \begin{matrix} \end{matrix}\begin{bmatrix} 1/3 &1/3&1/3 \\ 1/3 & 1/3&1/3\\1/3 &1/3&1/3\end{bmatrix} \end{matrix}W=0.85   A     B     C    ​100​1/201/2​1/21/20​​​+(1−0.85)​1/31/31/3​1/31/31/3​1/31/31/3​​​
=ABC[0.850.4250.425000.42500.4250]+[0.050.050.050.050.050.050.050.050.05]=[0.90.4750.4750.050.050.4750.050.4750.05]=\begin{matrix}\ \ \ A\ \ \ \ \ B\ \ \ \ \ C\ \ \ \ \\ \begin{matrix} \end{matrix}\begin{bmatrix} 0.85 &0.425&0.425 \\ 0 & 0&0.425\\0 &0.425&0\end{bmatrix} \end{matrix}+\begin{matrix} \\ \begin{matrix} \end{matrix}\begin{bmatrix} 0.05 &0.05&0.05 \\ 0.05 & 0.05&0.05\\0.05&0.05&0.05\end{bmatrix} \end{matrix}=\begin{bmatrix} 0.9 &0.475&0.475 \\ 0.05 & 0.05&0.475\\0.05&0.475&0.05\end{bmatrix} =   A     B     C    ​0.8500​0.42500.425​0.4250.4250​​​+​0.050.050.05​0.050.050.05​0.050.050.05​​​=​0.90.050.05​0.4750.050.475​0.4750.4750.05​​

将上述修正后的WWW带入更新，就不会出现权重向AAA发生偏移的现象了。

所以，PRPRPR值新的迭代公式更新为:
PRi+1=[βW+(1−β)eeTn]∗PRiPR_{i+1}=[βW+(1-β)\frac{ee^T}{n}]*PR_{i}PRi+1​=[βW+(1−β)neeT​]∗PRi​

综上，最终PRPRPR的迭代公式为：
PRi+1=[β(W+a(en))+(1−β)eeTn]∗PRiPR_{i+1}=[β(W+a(\frac{e}{n}))+(1-β)\frac{ee^T}{n}]*PR_{i}PRi+1​=[β(W+a(ne​))+(1−β)neeT​]∗PRi​

PageRnak优缺点

优点：

• 通过网页之间的链接来决定网页的重要性，一定程度消除了人为对排名结果的影响
• 离线计算PageRankPageRankPageRank值，而非查找时计算，提升了查询的效率。

缺点：

• 存在时间久的网站，PageRankPageRankPageRank值会越来越大，而新生的网站，PageRankPageRankPageRank值增长慢。
• 非查询相关的特性，查询结果会偏离搜索内容。
• 通过”僵尸“网站或链接，人为刷PageRankPageRankPageRank值。