1. • 树型结构

1.1概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的节点，称为根结点，根结点没有前驱结点。

• 除根结点外其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

• 树是递归定义的。

注意：

• 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

• 除了根结点外，每个节点有且仅有一个父节点。

• 一棵N结点的数有N-1条边。

1.2二叉树中的概念

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

• 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

• 树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂，要存储起来较为麻烦。实际中数有很多中表示方式。如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等等。

2. • 二叉树

2.1概念

一颗二叉树是结点的一个有限集合。该集合：

• 或者为空

• 或者是由一个根结点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成。

• 二叉树不存在度大于2的结点

• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。因此二叉树是有序数。

任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成：

2.2两种特殊的二叉树

1. 满二叉树：一颗二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。即：如果一棵树的层数为K，且结点总数是,则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

若2i+1

若2i+2

2.4二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式。

2.5二叉树的基本操作

首先我们手动创建一颗二叉树：

public class BinaryTree{public static class BTNode{BTNode left;BTNode right;int value;BTNode(int value){this.value = value;}}private BTNode root;public void createBinaryTree(){BTNode node1 = new BTNode(1);BTNode node2 = new BTNode(2);BTNode node3 = new BTNode(3);BTNode node4 = new BTNode(4);BTNode node5 = new BTNode(5);BTNode node6 = new BTNode(6);root = node1;node1.left = node2;node2.left = node3;node1.right = node4;node4.left = node5;node5.right = node6;}
}

1. • 前中后序遍历

• NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。

// 前序遍历public void preOrder(BTNode root){if(root == null){return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}

• LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。

   //中序遍历public void inOrder(BTNode root){if(root == null){return;}preOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.right);}

• LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

    //后序遍历public void enOrder(BTNode root){if(root == null){return;}preOrder(root.left);preOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}

2. • 二叉树结点的个数：

二叉树的结点个数依旧采用子问题的思路。

每一棵树的结点个数=左树结点个数+右树结点个数+自己结点本身（即递归公式）

而左树又可以看成一棵完整的数，以此类推。那有小伙伴问什么时候递归结束嘞？

当一个节点为空的时候，递归结束。（即递归结束的条件）

//二叉树结点个数：public int size(TreeNode root){if(root == null){return 0;}return size(root.left)+size(root.right)+1;}

3. • 获取叶子节点个数：

获取叶子节点个数的时候，依旧采用子问题思路。

叶子节点=左树叶子节点+右树叶子节点（递推公式）

当根的左树和右树为空的时候，即递归结束。

还有另外一种思路：

定义一个计数器。遍历整个树，遇到节点就++，最后返回计数器的值即可。

//叶子节点个数public int getLeafNodeCount(TreeNode root){if(root == null){return 0;}if(root.left == null && root.right == null){return 1;}return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);}

4. • 获取第K层节点的个数

本题依旧可以采用子问题的思路；

用k来控制递归层数。

 // 获取第K层节点的个数public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if(root == null || k <= 0){return 0;}if(k == 1){return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}

5. • 获取二叉树的高度

递归计算出左右子树的高度相比较取最大值+1（根结点）；

// 获取二叉树的高度public int getHeight(TreeNode root){if(root == null){return 0;}int tmp1 = getHeight(root.left);int tmp2 = getHeight(root.right);return tmp1 > tmp2 ? tmp1 + 1 : tmp2 + 1;}

6. • 检测值为value的元素是否存在

采用子问题的思路。先判断root为空的状态下，返回空。先在左树查找，左树没有再去右树找。如果两个树都为空，则没找到。当节点的值等于要找的值的时候，返回节点的值。

public TreeNode find(TreeNode root, int val){if(root == null){return null;}if(root.val == val){return root;}TreeNode tmp1 = find(root.left,val);if(tmp1 != null){return tmp1;}TreeNode tmp2 = find(root.right,val);if(tmp2 != null){return tmp2;}return null;}

7. • 层序遍历二叉树

什么叫层序遍历呢？

他的规则是：从上到下，从左到右。

我们可以使用队列来做。定义一个cur，先把根放入队列中。然后判断队列是否为空？不为空将队列的最前面元素弹出，再打印。然后将根的左右子树放进来。再判断队列是否为空，将队列最前面的元素弹出，再将弹出元素的左右子树放入队列中，依次循环。直到队列为空。

//层序遍历public void levelOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}Queue queue = new LinkedList<>();TreeNode cur = root;queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()){cur = queue.poll();System.out.print(cur.val + " ");if(cur.left != null){queue.offer(cur.left);}if(cur.right != null){queue.offer(cur.right);}}}

8. 判断一棵树是不是完全二叉树

完全二叉树我们前文已经介绍过了。

思路和层序遍历的思路相似。将根结点放入队列中，判断队列是否为空。不为空弹出队列最上面的元素给cur，再将弹出元素的左右子树放入队列中（空也放入），依次循环，当cur==null时，遍历队列中剩余元素，如果队列中剩余元素为null，则这棵树为完全二叉树，否则不为完全二叉树。

    public boolean isCompleteTree(TreeNode root){if(root == null){return false;}Queue queue = new LinkedList<>();TreeNode cur = root;queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()){cur = queue.poll();if(cur != null){queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else{break;}}while(! queue.isEmpty()){TreeNode pop = queue.poll();if(pop != null){return false;}}return true;}