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本篇文章介绍【贪心数学困难题】1739. 放置盒子题解，展示语言java。

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• ⭐️1739. 放置盒子⭐️
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  • 🔑源代码
• 🌱总结

⭐️1739. 放置盒子⭐️

1739. 放置盒子

🔐题目详情

难度困难

有一个立方体房间，其长度、宽度和高度都等于 n 个单位。请你在房间里放置 n 个盒子，每个盒子都是一个单位边长的立方体。放置规则如下：

• 你可以把盒子放在地板上的任何地方。
• 如果盒子 x 需要放置在盒子 y 的顶部，那么盒子 y 竖直的四个侧面都 必须 与另一个盒子或墙相邻。

给你一个整数 n ，返回接触地面的盒子的 最少 可能数量*。*

示例 1：

输入：n = 3
输出：3
解释：上图是 3 个盒子的摆放位置。
这些盒子放在房间的一角，对应左侧位置。

示例 2：

输入：n = 4
输出：3
解释：上图是 3 个盒子的摆放位置。
这些盒子放在房间的一角，对应左侧位置。

示例 3：

输入：n = 10
输出：6
解释：上图是 10 个盒子的摆放位置。
这些盒子放在房间的一角，对应后方位置。

提示：

• 1 <= n <= 109

💡解题思路

解题思路： 贪心思想+数学推理题

想要占地板数最少，那么需要靠墙角进行方块的放置，因为墙角天然提供了两个侧面的消耗，这是这道题贪心的一个点吧，并且以类阶梯放置时，所占地面的方块数最少，下面我们来进行找规律。

地面上盒子数为111时，最多可以放111个盒子。

地面上盒子数为222时，最多可以放222个盒子。

地面上盒子数为333时，最多可以放444个盒子，不妨将这种放置情况称为完整的阶梯堆，以下简称阶梯堆。

地面上盒子数为444时，最多可以放555个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了111个地面盒子，多了111个盒子上限。

地面上盒子数为555时，最多可以放777个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了222个地面盒子，多了1+21+21+2个盒子上限。

地面上盒子数为666时，最多可以放101010个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了333个地面盒子，多了1+2+31+2+31+2+3个盒子上限，形成了一个完整放置的阶梯堆。

地面上盒子数为777时，最多可以放111111个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了111个地面盒子，多了111个盒子上限。

地面上盒子数为888时，最多可以放131313个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了222个地面盒子，多了1+21+21+2个盒子上限。

地面上盒子数为999时，最多可以放161616个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了333个地面盒子，多了1+2+31+2+31+2+3个盒子上限。

地面上盒子数为101010时，最多可以放161616个盒子，相比于上一个阶梯堆，多了444个地面盒子，多了1+2+3+41+2+3+41+2+3+4个盒子上限，并且形成了一个新的阶梯堆。

通过这些举例，我们可以看出一些规律，当地面放置的盒子数为111，1+21+21+2，1+2+31+2+31+2+3，…，1+2+3+...+i1+2+3+...+i1+2+3+...+i时，最多放置的盒子堆是一个阶梯堆。

地面盒子为1+2+3+...+i1+2+3+...+i1+2+3+...+i时，即i×(1+i)2\frac{i\times(1+i)}{2}2i×(1+i)​（等差数列求和），所对应盒子的上限为maxNmaxNmaxN（裂项相消）:

1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+i)=∑i=1ii×(1+i)21+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+i)=\sum_{i=1}^{i}{\frac{i\times(1+i)}{2}} 1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+i)=i=1∑i​2i×(1+i)​

因为从顶端往下数，每层的盒子数为111，1+21+21+2，1+2+31+2+31+2+3，…，1+2+3+...+i1+2+3+...+i1+2+3+...+i。

利用裂项相消计算得：

∑i=1ii×(1+i)2=∑i=1i(i×(1+i)2×[(i+2)−(i−1)]3)=∑i=1i(i(i+1)(i+2)6−(i−1)i(i+1)6)=16∑i=1i[i(i+1)(i+2)−(i−1)i(i+1)]=[(1×2×3)−(0×1×2)+(2×3×4)−(1×2×3)+...+i(i+1)(i+2)−(i−1)i(i+1)]=16[i(i+1)(i+2)−(0×1×2)]=i(i+1)(i+2)6\begin{aligned} \sum_{i=1}^{i}{\frac{i\times(1+i)}{2}}&=\sum_{i=1}^{i}({\frac{i\times(1+i)}{2}}\times\frac{[(i+2)-(i-1)]}{3})\\ &=\sum_{i=1}^{i}(\frac{i(i+1)(i+2)}{6}-\frac{(i-1)i(i+1)}{6})\\ &=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{i}[i(i+1)(i+2)-(i-1)i(i+1)]\\ &=[(1\times2\times3)-(0\times1\times2)+(2\times3\times4)-(1\times2\times3)+...+i(i+1)(i+2)-(i-1)i(i+1)]\\ &=\frac{1}{6}[i(i+1)(i+2)-(0\times1\times2)]\\ &=\frac{i(i+1)(i+2)}{6}\\ \end{aligned} i=1∑i​2i×(1+i)​​=i=1∑i​(2i×(1+i)​×3[(i+2)−(i−1)]​)=i=1∑i​(6i(i+1)(i+2)​−6(i−1)i(i+1)​)=61​i=1∑i​[i(i+1)(i+2)−(i−1)i(i+1)]=[(1×2×3)−(0×1×2)+(2×3×4)−(1×2×3)+...+i(i+1)(i+2)−(i−1)i(i+1)]=61​[i(i+1)(i+2)−(0×1×2)]=6i(i+1)(i+2)​​

最终maxN=i(i+1)(i+2)6maxN=\frac{i(i+1)(i+2)}{6}maxN=6i(i+1)(i+2)​。

根据变化规律，在阶梯堆基础上添加地面盒子数jjj个，盒子上限会增加1+2+3+...+j=j×(1+j)21+2+3+...+j=\frac{j\times(1+j)}{2}1+2+3+...+j=2j×(1+j)​。【不妨称作添加规律】

对于本题我们可以算出最大阶梯堆的地面盒子数量不妨设为x=1+2+...+k=k×(1+k)2x=1+2+...+k=\frac{k\times(1+k)}{2}x=1+2+...+k=2k×(1+k)​，然后再将剩余的盒子以以上【添加规律】模拟计数得出yyy,即可的最终所占的地面盒子数ans=x+yans=x+yans=x+y。

🔑源代码

Java代码1：

class Solution {public int minimumBoxes(int n) {int maxN = 0;int ans = 0;int k = 1;while (k * (1 + k) / 2 + maxN <= n) {maxN += k * (1 + k) / 2;k++;}//k多记了1k--;//xans = k * (1 + k) / 2;k = 1;//基于阶梯堆，每增加一块地面盒子，上限增加k(k从1递增)while (maxN < n) {maxN += k;ans++;k++;}return ans;}
}

Java代码2：

class Solution {public int minimumBoxes(int n) {int maxN = 1;int ans = 0;int k = 1;while (maxN <= n) {k++;maxN = (int) ((long) k * (1 + k) * (2 + k) / 6);}//k多记了1k--;maxN = (int) ((long) k * (1 + k) * (2 + k) / 6);//xans = k * (1 + k) / 2;k = 1;//基于阶梯堆，每增加一块地面盒子，上限增加k(k从1递增)while (maxN < n) {maxN += k;ans++;k++;}return ans;}
}

C++代码1：

class Solution {
public:int minimumBoxes(int n) {int ans = 0;int k = 1;int maxN = 0;while (maxN + k * (1 + k) / 2 <= n) {maxN += k * (1 + k) / 2;k++;}//k多加1--k;ans = k * (1 + k) / 2;k = 1;while (maxN < n){ans++;maxN += k;k++;}return ans;}
};

C++代码2：

class Solution {
public:int minimumBoxes(int n) {int ans = 0;int k = 1;int maxN = 1;while (maxN <= n) {k++;maxN = (int) ((long) k * (k + 1) * (k + 2) / 6);}//k多加1--k;maxN = (int) ((long) k * (k + 1) * (k + 2) / 6);ans = k * (1 + k) / 2;k = 1;while (maxN < n){ans++;maxN += k;k++;}return ans;}
};

C语言代码1：

int minimumBoxes(int n){int ans = 0;int k = 1;int maxN = 0;while (maxN + k * (1 + k) / 2 <= n) {maxN += k * (1 + k) / 2;k++;}//k多加1--k;ans = k * (1 + k) / 2;k = 1;while (maxN < n) {ans++;maxN += k;k++;}return ans;
}

C语言代码2：

int minimumBoxes(int n){int ans = 0;int k = 1;int maxN = 1;while (maxN <= n) {k++;maxN = (int) ((long) k * (k + 1) * (k + 2) / 6);}//k多加1--k;maxN = (int) ((long) k * (k + 1) * (k + 2) / 6);ans = k * (1 + k) / 2;k = 1;while (maxN < n) {ans++;maxN += k;k++;}return ans;
}

🌱总结

本题主要有两个难点，一个是贪心思维，知道从墙角下手，第二个就是数学规律推理，找出盒子变化规律。

优化参考：

class Solution {public int minimumBoxes(int n) {int x = (int) Math.cbrt(6L * n);int ans = x * (x + 1) / 2;int maxN = (int) ((long) x * (x + 1) * (x + 2) / 6);if (maxN > n) {maxN -= ans;ans -= x;}return ans + (int) Math.ceil((-1 + Math.sqrt(1 + 8 * (n - maxN))) / 2);}
}

class Solution {
public:int minimumBoxes(int n) {int x = cbrt(6L * n);int ans = x * (x + 1) / 2;int max_n = (long) x * (x + 1) * (x + 2) / 6;if (max_n > n) {max_n -= ans;ans -= x;}return ans + ceil((-1 + sqrt(1 + 8 * (n - max_n))) / 2);}
};

参考资料：
https://leetcode.cn/problems/building-boxes/solution/mei-xiang-ming-bai-yi-ge-dong-hua-miao-d-8vbe/