点乘与叉乘是否满足结合律
今天遇到了一个问题，一个式子包含一个叉乘的同时还包含了一个点乘。这个式子如下：
∇t×z^⋅z^\nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}∇t×z^⋅z^
其中，
∇t=(∂∂x,∂∂y)\nabla_t = \left ( \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y} \right )∇t=(∂x∂,∂y∂)：del算符的横向分量。
那么这个式子的结果究竟是什么呢？
第一种计算方式
首先我们按照从左到右的顺序来计算这个式子，
∇t×z^⋅z^=(∂∂xx^+∂∂yy^)⋅z^=0\begin{aligned} \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}&= \left ( \frac{\partial }{\partial x } \hat{x} + \frac{\partial }{\partial y}\hat{y} \right ) \cdot \hat{z} \\ &= 0 \end{aligned} ∇t×z^⋅z^=(∂x∂x^+∂y∂y^)⋅z^=0
第二种计算方式
∇t×z^⋅z^=∇t×(z^×z^)=∇t×1=0\begin{aligned} \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}&=\nabla_t \times \left ( \hat{z} \times \hat{z} \right ) \\ &= \nabla_t \times 1 \\ &= 0 \end{aligned} ∇t×z^⋅z^=∇t×(z^×z^)=∇t×1=0
由上述两种方法可见，对于一个既包含叉乘又包含点乘，且叉乘在前，点乘在后的式子，我们可以先计算点乘，再计算叉乘，最终的结果不会变化。究其原因是因为这样结构的式子最终的计算结果是一个标量，所以运算的顺序不会对最终的结果产生影响。
然而上述方法并不是实际意义上的关于点乘或者叉乘的结合律，读者需要小心区分。
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