1 分部积分法原理

分部积分法由两个函数乘积推导得出。

设函数u=u(x)及v=v(x)u=u(x)及v=v(x)u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为

(uv)′=u′v+uv′(uv)^{'}=u^{'}v+uv^{'}(uv)′=u′v+uv′,移项得 u′v=(uv)′−uv′u^{'}v=(uv)^{'}-uv^{'}u′v=(uv)′−uv′,不等式两边求积分得

∫uv′dx=uv−∫u′vdx\int{uv^{'}dx}=uv-\int{u^{'}vdx}∫uv′dx=uv−∫u′vdx (3-1)

公式(3-1)称为分部积分公式，利用微分简化为:

∫udv=uv−∫vdu\int{udv}=uv-\int{vdu}∫udv=uv−∫vdu (3-2)

注：选取的积分∫udv要比∫vdu\int{udv}要比\int{vdu}∫udv要比∫vdu容易求积分

例1 求∫xsin⁡xdx\int{x\sin xdx}∫xsinxdx

• 形式：幂函数与三角函数乘积

解:∫xsin⁡xdx=−∫xdcos⁡x=−xcos⁡x+∫cos⁡xdx=−xcos⁡x+sin⁡x+C解:\int{x\sin xdx}=-\int{xd\cos x}=-x\cos x+\int{\cos xdx}\\ =-x\cos x+\sin x+C 解:∫xsinxdx=−∫xdcosx=−xcosx+∫cosxdx=−xcosx+sinx+C

例2 求 ∫xexdx\int{xe^xdx}∫xexdx

• 形式：幂函数和指数函数乘积

解：∫xexdx=∫xdex=xex−∫exdx=xex−ex+C解：\int{xe^xdx}=\int{xde^x}=xe^x-\int{e^xdx}\\ =xe^x-e^x+C 解：∫xexdx=∫xdex=xex−∫exdx=xex−ex+C

例3 求∫x2exdx\int{x^2e^xdx}∫x2exdx
解：∫x2exdx=∫x2dex=x2ex−∫exdx2=x2ex−2∫xexdx=x2ex−2(xex−ex)+C=x2ex−2xex+2ex+C=ex(x2−2x+2)+C解：\int{x^2e^xdx}=\int{x^2de^x}=x^2e^x-\int{e^xdx^2}\\ =x^2e^x-2\int{xe^xdx}=x^2e^x-2(xe^x-e^x)+C\\ =x^2e^x-2xe^x+2e^x+C=e^x(x^2-2x+2)+C 解：∫x2exdx=∫x2dex=x2ex−∫exdx2=x2ex−2∫xexdx=x2ex−2(xex−ex)+C=x2ex−2xex+2ex+C=ex(x2−2x+2)+C

∫xnexdx=ex∑k=0n(−1)kCnkxn−k+C\int{x^ne^xdx}=e^x\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^kx^{n-k}+C∫xnexdx=exk=0∑n​(−1)kCnk​xn−k+C

如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或者幂函数和指数函数的乘积，考虑用分部积分法，并设幂函数为u。

例4 求∫xln⁡xdx\int{x\ln xdx}∫xlnxdx

• 形式：幂函数和对数函数乘积

解:∫xln⁡xdx=12∫ln⁡xdx2=12x2ln⁡x−12∫x2dln⁡x=12x2ln⁡x−12∫xdx=12x2ln⁡x−14x2+C解:\int{x\ln xdx}=\frac{1}{2}\int{\ln xdx^2}=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{2}\int{x^2d\ln x}\\ =\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{2}\int{xdx}=\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2+C 解:∫xlnxdx=21​∫lnxdx2=21​x2lnx−21​∫x2dlnx=21​x2lnx−21​∫xdx=21​x2lnx−41​x2+C

例5 求∫arcsin⁡xdx\int{\arcsin xdx}∫arcsinxdx

• 形式：幂函数和反三角函数

∫arcsin⁡xdx=xarcsin⁡x−∫xdarcsin⁡x=xarcsin⁡x−∫x1−x2dx=xarcsin⁡x+1−x2+C\int{\arcsin xdx}=x\arcsin x-\int{xd\arcsin x}\\ =x\arcsin x-\int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx}\\ =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C ∫arcsinxdx=xarcsinx−∫xdarcsinx=xarcsinx−∫1−x2​x​dx=xarcsinx+1−x2​+C

如果被积函数是幂函数和对数函数或者幂函数和反三角函数的乘积，考虑用分部积分法，并设幂函数为u。

例6 求 ∫exsin⁡xdx\int{e^x\sin xdx}∫exsinxdx
解：I=∫exsin⁡xdx=∫sin⁡xdex=exsin⁡x−∫exdsin⁡x=exsin⁡x−∫excos⁡xdx=exsin⁡x−(excos⁡x+∫exsin⁡xdx)I=12ex(sin⁡x−cos⁡x)+C解：I=\int{e^x\sin xdx}=\int{\sin xde^x}=e^x\sin x-\int{e^xd\sin x}\\ =e^x\sin x-\int{e^x\cos xdx}=e^x\sin x-(e^x\cos x+\int{e^x\sin xdx})\\ I=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C 解：I=∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx−∫exdsinx=exsinx−∫excosxdx=exsinx−(excosx+∫exsinxdx)I=21​ex(sinx−cosx)+C

2 u的选取

uuu的选取顺序：反三角函数->对数函数->幂函数->指数函数->三角函数

或者反三角函数->对数函数->幂函数->三角函数->指数函数

​ 例7：∫sec3xdx\int{sec^3xdx}∫sec3xdx
解：I=∫sec3xdx=∫sec⁡xdtan⁡x=sec⁡xtan⁡x−∫tan⁡xdsec⁡x=sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡xdx−∫sec⁡3xdxI=12sec⁡xtan⁡x+12ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C解：I=\int{sec^3xdx}=\int{\sec xd\tan x}=\sec x\tan x-\int{\tan xd\sec x}\\ =\sec x\tan x+\int{\sec xdx}-\int{\sec^3xdx}\\ I=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C 解：I=∫sec3xdx=∫secxdtanx=secxtanx−∫tanxdsecx=secxtanx+∫secxdx−∫sec3xdxI=21​secxtanx+21​ln∣secx+tanx∣+C
例8 求∫sin⁡nxdx\int{\sin^nxdx}∫sinnxdx
解：I=∫sin⁡nxdx=−∫sin⁡n−1xdcos⁡x=−cos⁡xsin⁡n−1x+∫cos⁡xdsin⁡n−1x=−sin⁡n−1cos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2)xdx−(n−1)∫sin⁡nxdx∫sin⁡nxdx=−1nsin⁡n−1xcos⁡x+n−1n∫sin⁡n−2xdx解：I=\int{\sin^nxdx}=-\int{\sin^{n-1}xd\cos x}=-\cos x\sin^{n-1}x+\int{\cos xd\sin^{n-1}x}\\ =-\sin^{n-1}\cos x+(n-1)\int{\sin^{n-2)}xdx}-(n-1)\int{\sin^nxdx} \\ \int{\sin^nxdx}=-\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}\int{\sin^{n-2}xdx} 解：I=∫sinnxdx=−∫sinn−1xdcosx=−cosxsinn−1x+∫cosxdsinn−1x=−sinn−1cosx+(n−1)∫sinn−2)xdx−(n−1)∫sinnxdx∫sinnxdx=−n1​sinn−1xcosx+nn−1​∫sinn−2xdx

∫cos⁡nxdx=1ncos⁡n−1xsin⁡x+n−1n∫cos⁡n−2xdx\int{\cos^nxdx}=\frac{1}{n}\cos^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int{\cos^{n-2}xdx}∫cosnxdx=n1​cosn−1xsinx+nn−1​∫cosn−2xdx

3 综合换元积分法和分部积分法

例10 求∫exdx\int{e^{\sqrt{x}}dx}∫ex​dx
解:令t=x,x=t2,dx=2tdt∫exdx=∫et⋅2tdt=2∫tdet=2tet−2∫etdt=2tet−2et+C=2ex(x−1)+C解:令t=\sqrt{x},x=t^2,dx=2tdt \\ \int{e^{\sqrt{x}}dx}=\int{e^t\cdot2tdt}=2\int{tde^t}\\ =2te^t-2\int{e^tdt}=2te^t-2e^t+C=2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+C 解:令t=x​,x=t2,dx=2tdt∫ex​dx=∫et⋅2tdt=2∫tdet=2tet−2∫etdt=2tet−2et+C=2ex​(x​−1)+C

后记

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.P208~p212.

[2]【梨米特】同济七版《高等数学》全程教学视频｜纯干货知识点解析，应该是全网最细｜微积分 | 高数[CP/OL].2020-04-16.p29.