A 大富翁
很有意思的题
∑x∈A∑y∈B[x支配y]−∑x∈A∑y∈B[y支配x]−∑x∈Awx\sum_{x\in A}\sum_{y\in B}[x支配y]-\sum_{x\in A}\sum_{y\in B}[y支配x]-\sum_{x\in A}w_x∑x∈A​∑y∈B​[x支配y]−∑x∈A​∑y∈B​[y支配x]−∑x∈A​wx​
=∑x∈A∑y[x支配y]−∑x∈A∑y[y支配x]−∑x∈Awx=\sum_{x\in A}\sum_{y}[x支配y]-\sum_{x\in A}\sum_{y}[y支配x]-\sum_{x\in A}w_x=∑x∈A​∑y​[x支配y]−∑x∈A​∑y​[y支配x]−∑x∈A​wx​
=∑x∈Asizx−∑x∈Adepx−∑x∈Awx=\sum_{x\in A}siz_x-\sum_{x\in A}dep_x-\sum_{x\in A}w_x=∑x∈A​sizx​−∑x∈A​depx​−∑x∈A​wx​
这样每个点的贡献就确定了
排序后取奇数位

C 快速最小公倍数变换
考虑把贡献改写成一个只跟rir_iri​相关，只跟rjr_jrj​相关，只跟ri+rjr_i+r_jri​+rj​相关的三个数的乘积
设vp(x)v_p(x)vp​(x)表示质数ppp在xxx质因数分解中的指数大小，MpM_pMp​表示所有vp(ai)v_p(a_i)vp​(ai​)的最大值，mpm_pmp​所有vp(ai)v_p(a_i)vp​(ai​)的非严格次大值
考虑算出MpM_pMp​在操作之后的改变值ΔMp\Delta M_pΔMp​
ΔMp=([vp(ri)=Mp]+[vp(rj)=Mp])(mp−Mp)+max⁡(vp(ri+rj)−Mp,0)\Delta M_p=([v_p(r_i)=M_p]+[v_p(r_j)=M_p])(m_p-M_p)+\max(v_p(r_i+r_j)-M_p,0)ΔMp​=([vp​(ri​)=Mp​]+[vp​(rj​)=Mp​])(mp​−Mp​)+max(vp​(ri​+rj​)−Mp​,0)
证明
当[vp(ri)=Mp]=0,[vp(rj)=Mp]=0[v_p(r_i)=M_p]=0,[v_p(r_j)=M_p]=0[vp​(ri​)=Mp​]=0,[vp​(rj​)=Mp​]=0时，显然满足
当[vp(ri)=Mp]=1,[vp(rj)=Mp]=0[v_p(r_i)=M_p]=1,[v_p(r_j)=M_p]=0[vp​(ri​)=Mp​]=1,[vp​(rj​)=Mp​]=0时，vp(ri+rj)=vp(rj) 当[vp(ri)=Mp]=0,[vp(rj)=Mp]=1[v_p(r_i)=M_p]=0,[v_p(r_j)=M_p]=1[vp​(ri​)=Mp​]=0,[vp​(rj​)=Mp​]=1时，与上种情况类似
当[vp(ri)=Mp]=1,[vp(rj)=Mp]=1[v_p(r_i)=M_p]=1,[v_p(r_j)=M_p]=1[vp​(ri​)=Mp​]=1,[vp​(rj​)=Mp​]=1时，mp=Mpm_p=M_pmp​=Mp​，满足
然后就能用nttnttntt优化了