最短距离和连续极小值

除了行列式，格的另一个基本量是格上最短非零向量的长度，即格中最短距离，其定义为
λ1=min⁡x,y∈L,x≠y∥x−y∥=min⁡z∈L,z≠0∥z∥.\begin{aligned} \lambda_1 &= \min_{\bm{x,y} \in \mathcal{L}, \bm{x} \neq \bm{y}} \| \bm{x} - \bm{y} \| \\ &= \min_{\bm{z} \in \mathcal{L}, \bm{z} \neq \bm{0}} \| \bm{z} \|. \end{aligned} λ1=x,y∈L,x=ymin∥x−y∥=z∈L,z=0min∥z∥.

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如上图所示，两两格点构成的向量都可以通过平移得到起始点为原点的向量，通过找到距离原点最近的格点即可计算出格中最短距离。格中最短距离也称为第一连续极小，记为λ1\lambda_1λ1。

同理可定义第二至第nnn连续极小λ2,…,λn\lambda_2, \dots, \lambda_nλ2,…,λn。

在二维格上，可以用多项式时间算法求解出λ1\lambda_1λ1，但在多维格上求解λ1\lambda_1λ1则十分困难。注意，给定一组格基，最短向量不一定是格基之一。

定义1 在格L\mathcal{L}L中，第iii连续极小值（i=1,…,ni=1,\dots, ni=1,…,n） 为λi=min⁡{r:dimspan(B(r)∩L)≥i}\lambda_i = \min \{ r : \mathrm{dim} ~ \mathrm{span}(\mathcal{B}(r) \cap \mathcal{L}) \geq i \}λi=min{r:dim span(B(r)∩L)≥i}。

在定义1中，B(r)\mathcal{B}(r)B(r)表示半径为rrr的超球体（Ball），该超球体与格L\mathcal{L}L交集产生的向量张成（span\mathrm{span}span）的空间的维度（dim\mathrm{dim}dim）为iii。换而言之，第iii连续极小值即包含至少iii个线性无关格向量的最小球的半径。

把球的中心放在原点，若球中有非零格向量，那么球中不止一个格向量。以上图为例，红色区域包含了一个非零格向量以及它的逆向量，但这二者在同一条直线上，仅张成一维空间，该超球体的半径是λ1\lambda_1λ1。而以下图为例，一个更大的超球体包含了4个非零格向量，可以张成二维空间，该超球体的半径是λ2\lambda_2λ2。

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在整数格Zn\mathbb{Z}^nZn中，有λ1=λ2=⋯=λn\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_nλ1=λ2=⋯=λn。一般而言，λ1≤λ2⋯≤λn\lambda_1 \leq \lambda_2 \cdots \leq \lambda_nλ1≤λ2⋯≤λn。

距离函数和覆盖半径

对任意点t∈Rn\bm{t} \in \mathbb{R}^nt∈Rn，记距离函数μ(t,L)\mu(\bm{t}, \mathcal{L})μ(t,L)返回t\bm{t}t到最近格点的距离，即μ(x,L)=min⁡x∈L∥t−x∥\mu(\bm{x}, \mathcal{L}) = \min_{\bm{x} \in \mathcal{L}} \| \bm{t} - \bm{x} \|μ(x,L)=minx∈L∥t−x∥。

通过移动t\bm{t}t可以找到μ\muμ的最大值，称为覆盖半径，即μ(L)=max⁡t∈span(L)μ(t,L)\mu(\mathcal{L}) = \max_{\bm{t} \in \mathrm{span}(\mathcal{L})} \mu(\bm{t}, \mathcal{L})μ(L)=maxt∈span(L)μ(t,L)。以下图为例，t\bm{t}t从①移动至②再移动至③，此时无论t\bm{t}t再怎么移动都会减小μ\muμ的值，故μ\muμ在步骤③时达到最大。

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以下图为例，将所有格点作为球心，不断增大球的半径rrr，当半径rrr超过12λ1\frac{1}{2} \lambda_121λ1时这些球开始互相覆盖，而当空间中所有点都被这些球覆盖时rrr刚好等于μ\muμ的最大值，名称“覆盖半径”由此而来。想象一下，在下图的第三张子图里，若再移动蓝色点t\bm{t}t均会落在球的内部从而使μ\muμ变小。

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格的平滑参数

假设噪声γ\bm{\gamma}γ随机采样自均匀分布U([0,r]n)\mathrm{U}([0, r]^n)U([0,r]n)，记格点为x∈L\bm{x} \in \mathcal{L}x∈L，为使γ+x\bm{\gamma} + \bm{x}γ+x的分布看起来与U(Rn)\mathrm{U}(\mathbb{R}^n)U(Rn)无异，要使rrr足够大。以上图为例，γ+x\bm{\gamma} + \bm{x}γ+x的出现频数用红色深浅表示，当rrr太小时有些地方是空白色，随着rrr的增大有些区域红色的深浅程度不一，当rrr无穷大时所有区域颜色一样。

当rrr是无穷大时是最理想的状态。事实上，存在一个有限的r^\hat{r}r^值可使γ+x\bm{\gamma} + \bm{x}γ+x趋近于完全均匀分布，有max⁡μ≤∥r^∥≤log⁡(n)⋅nλn\max \mu \leq \| \hat{r} \| \leq \log(n) \cdot \sqrt{n} \lambda_nmaxμ≤∥r^∥≤log(n)⋅nλn。

注：下面笔记属于个人猜测，高斯噪声这块公开课讲得比较模糊，强烈建议查阅原始论文。

球的半径要取得很大是因为它的边界十分明显。为解决该问题，可以使球心到边界逐渐平滑，即采用球状高斯分布进行平滑，从而得到高斯噪声。以下图为例，高斯平滑缩小了rrr值。对半径对应向量的每个分量vi\bm{v}_ivi，应使得∥vi∥≈ηϵ≤log⁡(n)λn\| \bm{v}_i \| \approx \eta_\epsilon \leq \log(n) \lambda_n∥vi∥≈ηϵ≤log(n)λn，仅略大于λn\lambda_nλn，此处ηϵ\eta_\epsilonηϵ被称为平滑参数。一般而言，ηϵ\eta_\epsilonηϵ由一个错误参数ϵ\epsilonϵ决定，ϵ\epsilonϵ表示当前噪声分布和均匀噪声分布之间的差异。

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